Uniwersytet Warszawski - Centralny System Uwierzytelniania
Strona główna

Potoki gradientowe w metryce optymalnego transportu

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-1M20PG
Kod Erasmus / ISCED: 11.1 Kod klasyfikacyjny przedmiotu składa się z trzech do pięciu cyfr, przy czym trzy pierwsze oznaczają klasyfikację dziedziny wg. Listy kodów dziedzin obowiązującej w programie Socrates/Erasmus, czwarta (dotąd na ogół 0) – ewentualne uszczegółowienie informacji o dyscyplinie, piąta – stopień zaawansowania przedmiotu ustalony na podstawie roku studiów, dla którego przedmiot jest przeznaczony. / (0541) Matematyka Kod ISCED - Międzynarodowa Standardowa Klasyfikacja Kształcenia (International Standard Classification of Education) została opracowana przez UNESCO.
Nazwa przedmiotu: Potoki gradientowe w metryce optymalnego transportu
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty monograficzne dla matematyki 2 stopnia
Przedmioty obieralne na studiach drugiego stopnia na kierunku bioinformatyka
Punkty ECTS i inne: (brak) Podstawowe informacje o zasadach przyporządkowania punktów ECTS:
  • roczny wymiar godzinowy nakładu pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się dla danego etapu studiów wynosi 1500-1800 h, co odpowiada 60 ECTS;
  • tygodniowy wymiar godzinowy nakładu pracy studenta wynosi 45 h;
  • 1 punkt ECTS odpowiada 25-30 godzinom pracy studenta potrzebnej do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się;
  • tygodniowy nakład pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się pozwala uzyskać 1,5 ECTS;
  • nakład pracy potrzebny do zaliczenia przedmiotu, któremu przypisano 3 ECTS, stanowi 10% semestralnego obciążenia studenta.

zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: angielski
Rodzaj przedmiotu:

monograficzne

Wymagania (lista przedmiotów):

Analiza funkcjonalna 1000-135AF

Założenia (opisowo):

Uczestnik powinien znać podstawowe twierdzenia analizy funkcjonalnej. Zaawansowana znajomość teorii miary nie jest wymagana, ale nie jest niewskazana. Podstawy teorii miary związane z takimi wykładami jak Analiza Matematyczna oraz Rachunek Prawdopodobieństwa powinny w zupełności wystarczyć. Uczestnik może spodziewać się krótkich wycieczek w kierunku równań różniczkowych.

Skrócony opis:

Wykład ma na celu zapoznanie uczestników z teorią optymalnego transportu, w szczególności wyprowadzając metryki Wassersteina. Koniec końców wprowadzimy pojęcie potoku gradientowego względem metryki Wassersteina i zauważymy jak wiele zjawisk fizycznych można traktować jako potoki gradientowe.

Pełny opis:

Wykład podąża zgodnie ze skryptem L. Ambrosio, N. Gigli ''A user's guide to optimal transport'' ograniczając się do przypadku przestrzeni euklidesowej.

Punkty oznaczone gwiazdką ''*'' mogą pojawić się tylko w charakterze dodatkowej informacji z pominięciem dowodów.

Część I: Zagadnienie optymalnego transportu.

1. Sformułowanie zagadnienia optymalnego transportu według Monge'a i Kantorowicza.

2. Warunki równoważne optymalności planu transportowego.

3. *Zagadnienie dualne do zagadnienia optymalnego transportu.*

4. Istnienie optymalnych odwzorowań.

Część II: Metryki Wassesteina.

1. Wprowadzenie metryk Wassersteina. Metryka W2.

2. Podstawowe własności przestrzeni miar w metryce W2.

3. Miary w metryce W2 jako przestrzeń geodezyjna.

4. Krzywe absolutnie ciągłe a równanie ciągłości.

5. *Słabo-Riemannowska struktura przestrzeni miar w metryce W2.*

Część III: Potoki gradientowe na przestrzeniach metrycznych

1. Pojęcie potoku gradientowego na przestrzeni Hilberta oraz na przestrzeni metrycznej.

2. Trzy definicje potoku gradientowego i zależności między nimi.

3. Potoki gradientowe geodezyjnie wypukłych funkcjonałów.

4. *Potoki gradientowe funkcjonałów półciągłych z dołu.*

5. Trzy klasyczne przykłady potoków gradientowych.

Literatura:

Ambrosio, Gigli ''A user's guide to optimal transport'',

Ambrosio, Gigli, Savare ''Gradien flows: In metric spaces and in the space of probability measures''.

Efekty uczenia się:

Student zna i rozumie pojęcie potoku gradientowego i jego związek z transportem masy i z równaniem ciągłości. Student wie gdzie szukać rozszerzeń materiału z wykładu i posiada dostateczne zrozumienie tej tematyki, żeby kontynuować studia we własnym zakresie.

Metody i kryteria oceniania:

Dwa do wyboru z następujących: aktywność na ćwiczeniach, jedna dość rozbudowana praca domowa, egzamin ustny.

Przedmiot nie jest oferowany w żadnym z aktualnych cykli dydaktycznych.
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.
ul. Banacha 2
02-097 Warszawa
tel: +48 22 55 44 214 https://www.mimuw.edu.pl/
kontakt deklaracja dostępności USOSweb 7.0.3.0-2b06adb1e (2024-03-27)