Serwisy internetowe Uniwersytetu Warszawskiego Nie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Transport miary

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-1M20TM Kod Erasmus / ISCED: 11.1 / (0541) Matematyka
Nazwa przedmiotu: Transport miary
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty monograficzne dla matematyki 2 stopnia
Seminaria monograficzne dla matematyki 2 stopnia
Punkty ECTS i inne: 6.00
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: angielski
Rodzaj przedmiotu:

monograficzne

Wymagania (lista przedmiotów):

Analiza funkcjonalna 1000-135AF
Rachunek prawdopodobieństwa I (potok 1) 1000-114bRP1a
Rachunek prawdopodobieństwa II 1000-135RP2
Równania różniczkowe cząstkowe 1000-135RRC
Wstęp do procesów stochastycznych 1000-135WPS

Założenia (lista przedmiotów):

Analiza funkcjonalna 1000-135AF
Rachunek prawdopodobieństwa I (potok 1) 1000-114bRP1a
Rachunek prawdopodobieństwa II 1000-135RP2
Równania różniczkowe cząstkowe 1000-135RRC
Wstęp do procesów stochastycznych 1000-135WPS

Założenia (opisowo):

Wymagana jest dobra znajomość teorii miary i rachunku prawdopodobieństwa, a także podstawowa wiedza z analizy funkcjonalnej, teorii równań różniczkowych cząstkowych i procesów stochastycznych.

Skrócony opis:

Omówione zostaną podstawowe wyniki teorii transportu miary, z naciskiem na aspekty probabilistyczne, w szczególności na teorię koncentracji miary.

Pełny opis:

Teoria transportu optymalnego, zapoczątkowana pracami Monge'a z końca XVIII w., dotyczy sposobów takiego przenoszenia zasobów w przestrzeni, aby przy zadanym ich początkowym i końcowym rozkładzie zminimalizować koszty transportu. Matematycznie problem ten formułowany jest zazwyczaj w terminach miar probabilistycznych i sprowadza się do szukania funkcji, które przenoszą jedną miarę probabilistyczną na drugą, minimalizując pewien koszt, zadany przez odpowiedni funkcjonał całkowy (w jednym z najprostszych przypadków kosztem tym jest średnia odległość o jaką przesuwany jest pojedynczy punkt). Teoria ta znalazła wiele zastosowań, zarówno w matematyce teoretycznej, jak i w ekonomii. Od czasu sformułowania podstawowego problemu przez Monge'a, miało miejsce kilka okresów jej burzliwego rozwoju, w szczególności w latach 40-tych XX w. (prace Kantorowicza - Nagroda Nobla z ekonomii w 1975 r.) oraz w ostatnim trzydziestoleciu (m. in. prace Cedrica Villaniego - Medal Fieldsa w 2010 i Alesio Figallego - Medal Fieldsa w 2018 r.). Teoria optymalnego transportu związana jest z wieloma działami matematyki - z równaniami cząstkowymi, teorią prawdopodobieństwa oraz geometrią różniczkową.

W ramach wykładu przedstawione zostaną podstawowy teoretyczne teorii transportu optymalnego oraz wybrane związki ze wspomnianymi wyżej zagadnieniami. Wykład skoncentrowany będzie na aspektach probabilistycznych, jednak istotnym narzędziem będzie teoria równań różniczkowych cząstkowych oraz analiza funkcjonalna.

W szczególności omówione zostaną następujące zagadnienia:

- problem Monge'a

- ogólne koszty transportu, odległość Kantorowicza-Wassersteina

- dualność Kantorowicza

- twierdzenie Breniera

- wzór Benamou-Breniera i związki z równaniem transportu

- twierdzenie Talagranda, nierówności transportowe i związki z teorią koncentracji miary

- twierdzenie Otto-Villaniego i związki z nierównościami logarytmicznymi Sobolewa

- słabe koszty transportu

- twierdzenie Caffarelliego

- transport martyngałowy lub transport entropijny

Większość omawianych zagadnień zostanie przedstawiona z pełnymi dowodami, w przypadku tematów zaawansowanych podane zostaną szkice dowodów.

Literatura:

- Cedric Villani, Topics in optimal transportation. Graduate Studies in Mathematics, 58. American Mathematical Society, Providence, RI, 2003

- Cedric Villani, Optimal transport. Old and new. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 338. Springer-Verlag, Berlin, 2009.

- Stéphane Boucheron, Gábor Lugosi, Pascal Massart, Concentration inequalities. A nonasymptotic theory of independence. With a foreword by Michel Ledoux. Oxford University Press, Oxford, 2013

- Michel Ledoux, The concentration of measure phenomenon. Mathematical Surveys and Monographs, 89. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001.

- Dominique Bakry, Ivan Gentil, Michel Ledoux, Analysis and geometry of Markov diffusion operators. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 348. Springer, Cham, 2014.

Efekty uczenia się:

Student:

- zna formalne sformułowanie zagadnienia transportu i rozumie płynące z zastosowań intuicje

- potrafi podać różne koszty transportu pojawiające się w zastosowaniach

- potrafi zastosować twierdzenie Kantorowicza, aby wypisać dualne sformułowanie problemu transportu

- potrafi udowodnić twierdzenie Breniera

- zna związki teorii transportu z teorią równań cząstkowych, w szczególności z równaniem transportu i równaniami Hamiltona-Jacobiego

- zna podstawowe nierówności koncentracyjne i potrafi udowodnić je korzystając z metody transportowej

Metody i kryteria oceniania:

Ocena końcowa zostanie wystawiona na podstawie egzaminu domowego oraz w indywidualnych przypadkach ustnego omówienia rozwiązań.

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2020/21" (w trakcie)

Okres: 2021-02-22 - 2021-06-13
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Radosław Adamczak
Prowadzący grup: Radosław Adamczak
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin
Przedmiot dedykowany programowi:

4EU+KURSY

Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.