Serwisy internetowe Uniwersytetu Warszawskiego Nie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Wstęp do geometrii niearchimedesowej

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-1M20WGN Kod Erasmus / ISCED: 11.174 / (0541) Matematyka
Nazwa przedmiotu: Wstęp do geometrii niearchimedesowej
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty monograficzne dla matematyki 2 stopnia
Punkty ECTS i inne: 6.00
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: angielski
Rodzaj przedmiotu:

monograficzne

Skrócony opis:

Geometria niearchimedesowa lub geometria sztywna (rigid-analytic geometry) jest wersją zespolonej geometrii analitycznej nad ciałami niearchimedesowymi. Jest ona obecnie istotnym narzędziem w geometrii algebraicznej i arytmetycznej, z ważnymi zastosowaniami w teorii liczb i geometrii enumeratywnej. Celem kursu jest wprowadzenie podstawowych pojęć geometrii niearchimedesowej w ujęciu Tate'a oraz omówienie podejścia do niej poprzez schematy formalne zaproponowanego przez Raynauda.

Założenia: Znajomość podstaw teorii schematów

Pełny opis:

Geometria niearchimedesowa lub geometria sztywna (rigid-analytic geometry) jest wersją zespolonej geometrii analitycznej nad ciałami niearchimedesowymi, takimi jak ciało liczb p-adycznych Q_p lub ciało formalnych szeregów Laurenta k((t)). Została ona wprowadzona i sformalizowana przez Tate'a w latach 60-tych, co posłużyło zrozumieniu krzywych eliptycznych nad ciałem p-adycznym za pomocą uniformizacji analogicznej do znanego opisu krzywej eliptycznej nad C jako ilorazu płaszczyzny zespolonej przez kratę. Od tego czasu zyskała ona status istotnego narzędzia w geometrii algebraicznej i arytmetycznej, znaleziono też kilka innych podejść do niej dzięki wynikom Raynauda, Berkovicha oraz Hubera. W ostatnich latach stała się ona bardziej widoczna dzięki pracy Scholzego i Kedlayi w p-adycznej teorii Hodge'a oraz niearchimedesowemu podejściu do symetrii lustrzanej zaproponowanym przez Kontsevicha. Mimo tego, nadal nie wiemy zbyt wiele na temat rozmaitości niearchimedesowych, a wiele podstawowych pytań pozostaje nierozstrzygniętych.

Celem wykładu jest wprowadzenie podstawowych pojęć geometrii niearchimedesowej. Będziemy zakładali znajomość podstaw teorii schematów.

Wstępny plan wykładu:

I. Motywacja i wprowadzenie; topologia liczb p-adycznych; pierścienie waluacji

II. Pierścienie topologiczne i adyczne

III. Schematy formalne

IV. Algebry Tate'a

V. Przestrzenie G-upierścienione i topologia dopuszczalna

VI. Rozmaitości niearchimedesowe

VII. Przykłady rozmaitości niearchimedesowych. Krzywa Tate'a

VIII. Podejście Raynauda

IX. Zastosowania

Zagadnienia dodatkowe:

a. Teoria przestrzeni adycznych Hubera

b. Przestrzenie Berkovicha

c. Przestrzenie Riemanna-Zariskiego

d. Twierdzenie Nagaty o uzwarceniu

Literatura:

1. Siegfried Bosch. Lectures on formal and rigid geometry, volume 2105 of Lecture Notes in Mathematics. Springer 2014.

2. Brian Conrad. Several approaches to non-Archimedean geometry. In p-adic geometry, Amer. Math. Soc. 2008.

3. Jean Fresnel, Marius van der Put. Rigid analytic geometry and its applications, volume 218 of Progress in Mathematics. Birkhauser 2004.

4. Kazuhiro Fujiwara, Fumiharu Kato. Foundations of rigid geometry I. EMS Monographs in Mathematics. EMS 2018.

5. John Tate. Rigid analytic spaces. Invent. Math. 12, 257--289, 1971.

Efekty uczenia się:

Student potrafi podać definicję rozmaitości niearchimedesowej oraz podstawowe własności takich rozmaitości i morfizmów pomiędzy nimi, rozumie w jaki sposób można je badać za pomocą schematów formalnych oraz umie podać podstawowe przykłady oraz prowadzić proste obliczenia.

Metody i kryteria oceniania:

Pisemna praca domowa, prezentacja lub pisemny projekt zaliczeniowy (ok. 5 stron), egzamin ustny.

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2020/21" (zakończony)

Okres: 2020-10-01 - 2021-01-31
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Piotr Achinger
Prowadzący grup: Piotr Achinger
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.