Uniwersytet Warszawski - Centralny System Uwierzytelniania
Strona główna

Analiza wypukła

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-1M21AWP
Kod Erasmus / ISCED: 11.1 Kod klasyfikacyjny przedmiotu składa się z trzech do pięciu cyfr, przy czym trzy pierwsze oznaczają klasyfikację dziedziny wg. Listy kodów dziedzin obowiązującej w programie Socrates/Erasmus, czwarta (dotąd na ogół 0) – ewentualne uszczegółowienie informacji o dyscyplinie, piąta – stopień zaawansowania przedmiotu ustalony na podstawie roku studiów, dla którego przedmiot jest przeznaczony. / (0541) Matematyka Kod ISCED - Międzynarodowa Standardowa Klasyfikacja Kształcenia (International Standard Classification of Education) została opracowana przez UNESCO.
Nazwa przedmiotu: Analiza wypukła
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty monograficzne dla matematyki 2 stopnia
Przedmioty obieralne na studiach drugiego stopnia na kierunku bioinformatyka
Strona przedmiotu: https://www.mimuw.edu.pl/~skola/2021L-AW/
Punkty ECTS i inne: (brak) Podstawowe informacje o zasadach przyporządkowania punktów ECTS:
  • roczny wymiar godzinowy nakładu pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się dla danego etapu studiów wynosi 1500-1800 h, co odpowiada 60 ECTS;
  • tygodniowy wymiar godzinowy nakładu pracy studenta wynosi 45 h;
  • 1 punkt ECTS odpowiada 25-30 godzinom pracy studenta potrzebnej do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się;
  • tygodniowy nakład pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się pozwala uzyskać 1,5 ECTS;
  • nakład pracy potrzebny do zaliczenia przedmiotu, któremu przypisano 3 ECTS, stanowi 10% semestralnego obciążenia studenta.

zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: angielski
Kierunek podstawowy MISMaP:

matematyka

Rodzaj przedmiotu:

monograficzne

Założenia (lista przedmiotów):

Analiza funkcjonalna 1000-135AF
Wstęp do geometrii różniczkowej 1000-135WGR

Założenia (opisowo):

Dobra znajomość obowiązkowych przedmiotów kursowych z I i II roku studiów I stopnia.

Tryb prowadzenia:

w sali

Skrócony opis:

Funkcje wypukłe stanowią ciekawą i bogatą klasę obiektów. Kluczowe ich własności

można podsumować następująco: każde lokalne minimum jest globalne oraz maksimum

na zbiorze ograniczonym przyjmowane jest na brzegu. Cechy te powodują, że

idealnie nadają się np. do badania problemów optymalizacyjnych. Na wykładzie

zajmiemy się klasyczną (elementarną) teorią w skończenie wymiarowej przestrzeni

Euklidesowej tak jak została wyłożona w książce "Convex analysis" autorstwa

R. T. Rockafellar. Pewne nieskończenie wymiarowe przestrzenie Banacha mogą

jednak pojawić się na ćwiczeniach.

Główne zagadnienia to:

* wypukłe sprzężenie (transformata Fenchela)

* transformata Legendre'a

* polarność wypukłych stożków

* twierdzenie Alexandrowa o istnieniu drugiego wielomianu Taylora prawie wszędzie

* twierdzenie Carathéodory'ego o reprezentacji dla otoczki wypukłej

* problemy typu min-max

* twierdzenie Fenchela o dualności

Pełny opis:

Zaczniemy od charakteryzacji funkcji i zbiorów wypukłych oraz zdefiniujemy podstawowe operacje na tych obiektach. Następnie omówimy ich topologiczne własności. W dalszej kolejności skupimy się na dualności między punktami i hiperpowierzchniami oraz wprowadzimy operacje wypukłego sprzężenia (transformata Fenchela) i~polarności. Badając wypukłe stożki zatrzymamy się też chwilę nad związkami z teorią norm. Dalej udowodnimy twierdzenie Carathéodory'ego o reprezentacji i zajmiemy się pojęciem punktów ekstremalnych. Następnie przejdziemy do różniczkowalności funkcji wypukłych, zdefiniujemy subgradient, omówimy transformatę Legendre'a i zbadamy jej związki z wypukłym sprzężeniem. Zbadamy kiedy gradient funkcji wypukłej definiuje homeomorfizm jej dziedziny z dziedziną sprzężenia. Być może uda się udowodnić też twierdzenie Alexandrowa o istnieniu drugiego wielomianu Taylora dla funkcji wypukłej w prawie każdym punkcie jej dziedziny. Na koniec, jeśli czas pozwoli, zajmiemy się tematem wypukłej minimalizacji z wypukłymi więzami oraz problem min-max dla

funkcji wypukło-wklęsłej. W szczególności udowodnimy twierdzenie Fenchela o dualności.

Na ćwiczeniach, poza rozwiązywaniem zadań ilustrujących i uzupełniających wykład, będziemy przyglądali się pewnemu uogólnieniu zbiorów wypukłych, a mianowicie zbiorami o dodatnim zasięgu (sets of positive reach).

Literatura:

Podstawowa:

* "Convex analysis" R. T. Rockafellar

* "Fundatnentals of Convex Analysis" J-B. Hiriart-Urruty, C. Lemarechal

Rozszerzona

* "Minkowski Geometry" A. C. Thompson

* "Lectures on Convex Geometry" D. Hug, W. Weil

* "Variational Analysis" R. T. Rockafellar, R. J-B. Wets

* "Convex Functions and their Applications: A Contemporary Approach" C. P. Niculescu, L-E. Persson

* "Curvature measures" H. Federer

* "User’s guide to viscosity solutions of second order partial differential equations" M. Crandall, H. Ishii, P. Lions

* "Uniqueness of critical points of the anisotropic isoperimetric problem for finite perimeter sets" A.D. Rosa, S. Kolasiński, M. Santilli

Efekty uczenia się:

* Znajomość podstawowych narzędzi i twierdzeń skończenie wymiarowej analizy wypukłej.

* Świadomość związków analizy wypukłej z rachunkiem wariacyjnym i zagadnieniami optymalizacyjnymi.

* Rozumienie powiązań między analizą wypukłą, geometrią wypukłą oraz teorią przestrzeni unormowanych.

* Znajomość niektórych zastosowań, np. do badania zbiorów o dodatnim zasięgu.

Metody i kryteria oceniania:

Zaliczenie ćwiczeń na podstawie zrobionych i zreferowanych na zajęciach zadań domowych.

Egzamin w formie ustnej przy czym lista pytań / zagadnień / zadań będzie podana z wyprzedzeniem (pod koniec semestru).

Przedmiot nie jest oferowany w żadnym z aktualnych cykli dydaktycznych.
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.
ul. Banacha 2
02-097 Warszawa
tel: +48 22 55 44 214 https://www.mimuw.edu.pl/
kontakt deklaracja dostępności USOSweb 7.0.3.0-2b06adb1e (2024-03-27)