Analiza wypukła
Informacje ogólne
Kod przedmiotu: | 1000-1M21AWP |
Kod Erasmus / ISCED: |
11.1
|
Nazwa przedmiotu: | Analiza wypukła |
Jednostka: | Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki |
Grupy: |
Przedmioty monograficzne dla matematyki 2 stopnia Przedmioty obieralne na studiach drugiego stopnia na kierunku bioinformatyka |
Strona przedmiotu: | https://www.mimuw.edu.pl/~skola/2021L-AW/ |
Punkty ECTS i inne: |
(brak)
|
Język prowadzenia: | angielski |
Kierunek podstawowy MISMaP: | matematyka |
Rodzaj przedmiotu: | monograficzne |
Założenia (lista przedmiotów): | Analiza funkcjonalna 1000-135AF |
Założenia (opisowo): | Dobra znajomość obowiązkowych przedmiotów kursowych z I i II roku studiów I stopnia. |
Tryb prowadzenia: | w sali |
Skrócony opis: |
Funkcje wypukłe stanowią ciekawą i bogatą klasę obiektów. Kluczowe ich własności można podsumować następująco: każde lokalne minimum jest globalne oraz maksimum na zbiorze ograniczonym przyjmowane jest na brzegu. Cechy te powodują, że idealnie nadają się np. do badania problemów optymalizacyjnych. Na wykładzie zajmiemy się klasyczną (elementarną) teorią w skończenie wymiarowej przestrzeni Euklidesowej tak jak została wyłożona w książce "Convex analysis" autorstwa R. T. Rockafellar. Pewne nieskończenie wymiarowe przestrzenie Banacha mogą jednak pojawić się na ćwiczeniach. Główne zagadnienia to: * wypukłe sprzężenie (transformata Fenchela) * transformata Legendre'a * polarność wypukłych stożków * twierdzenie Alexandrowa o istnieniu drugiego wielomianu Taylora prawie wszędzie * twierdzenie Carathéodory'ego o reprezentacji dla otoczki wypukłej * problemy typu min-max * twierdzenie Fenchela o dualności |
Pełny opis: |
Zaczniemy od charakteryzacji funkcji i zbiorów wypukłych oraz zdefiniujemy podstawowe operacje na tych obiektach. Następnie omówimy ich topologiczne własności. W dalszej kolejności skupimy się na dualności między punktami i hiperpowierzchniami oraz wprowadzimy operacje wypukłego sprzężenia (transformata Fenchela) i~polarności. Badając wypukłe stożki zatrzymamy się też chwilę nad związkami z teorią norm. Dalej udowodnimy twierdzenie Carathéodory'ego o reprezentacji i zajmiemy się pojęciem punktów ekstremalnych. Następnie przejdziemy do różniczkowalności funkcji wypukłych, zdefiniujemy subgradient, omówimy transformatę Legendre'a i zbadamy jej związki z wypukłym sprzężeniem. Zbadamy kiedy gradient funkcji wypukłej definiuje homeomorfizm jej dziedziny z dziedziną sprzężenia. Być może uda się udowodnić też twierdzenie Alexandrowa o istnieniu drugiego wielomianu Taylora dla funkcji wypukłej w prawie każdym punkcie jej dziedziny. Na koniec, jeśli czas pozwoli, zajmiemy się tematem wypukłej minimalizacji z wypukłymi więzami oraz problem min-max dla funkcji wypukło-wklęsłej. W szczególności udowodnimy twierdzenie Fenchela o dualności. Na ćwiczeniach, poza rozwiązywaniem zadań ilustrujących i uzupełniających wykład, będziemy przyglądali się pewnemu uogólnieniu zbiorów wypukłych, a mianowicie zbiorami o dodatnim zasięgu (sets of positive reach). |
Literatura: |
Podstawowa: * "Convex analysis" R. T. Rockafellar * "Fundatnentals of Convex Analysis" J-B. Hiriart-Urruty, C. Lemarechal Rozszerzona * "Minkowski Geometry" A. C. Thompson * "Lectures on Convex Geometry" D. Hug, W. Weil * "Variational Analysis" R. T. Rockafellar, R. J-B. Wets * "Convex Functions and their Applications: A Contemporary Approach" C. P. Niculescu, L-E. Persson * "Curvature measures" H. Federer * "User’s guide to viscosity solutions of second order partial differential equations" M. Crandall, H. Ishii, P. Lions * "Uniqueness of critical points of the anisotropic isoperimetric problem for finite perimeter sets" A.D. Rosa, S. Kolasiński, M. Santilli |
Efekty uczenia się: |
* Znajomość podstawowych narzędzi i twierdzeń skończenie wymiarowej analizy wypukłej. * Świadomość związków analizy wypukłej z rachunkiem wariacyjnym i zagadnieniami optymalizacyjnymi. * Rozumienie powiązań między analizą wypukłą, geometrią wypukłą oraz teorią przestrzeni unormowanych. * Znajomość niektórych zastosowań, np. do badania zbiorów o dodatnim zasięgu. |
Metody i kryteria oceniania: |
Zaliczenie ćwiczeń na podstawie zrobionych i zreferowanych na zajęciach zadań domowych. Egzamin w formie ustnej przy czym lista pytań / zagadnień / zadań będzie podana z wyprzedzeniem (pod koniec semestru). |
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.