Fizyka matematyczna układów sieciowych, zwłaszcza nieokresowych
Informacje ogólne
Kod przedmiotu: | 1000-1M21FUS |
Kod Erasmus / ISCED: |
11.1
|
Nazwa przedmiotu: | Fizyka matematyczna układów sieciowych, zwłaszcza nieokresowych |
Jednostka: | Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki |
Grupy: |
Przedmioty monograficzne dla matematyki 2 stopnia Przedmioty obieralne na studiach drugiego stopnia na kierunku bioinformatyka |
Punkty ECTS i inne: |
(brak)
|
Język prowadzenia: | angielski |
Rodzaj przedmiotu: | monograficzne |
Skrócony opis: |
Wykład poświęcony jest badaniu matematycznych modeli układów oddziaływujących cząstek umieszczonych w węzłach regularnych sieci. Omówimy model Isinga oddziałujących spinów. Przedyskutujemy 18. problem Hilberta i jego związki z kwazikryształami i z teorią ergodyczną symbolicznych układów dynamicznych. Przedyskutujemy też gry ewolucyjne na regularnych i losowych grafach. Nie zakładamy znajomości fizyki ani matematyki wykraczającej poza wykłady kursowe z dwóch pierwszych lat studiów. |
Pełny opis: |
Wykład poświęcony jest badaniu matematycznych modeli układów oddziaływujących cząstek umieszczonych w węzłach regularnych sieci. Jako przykład ilustrujący istnienie magnesów przedstawiony zostanie model Isinga oddziałujących spinów. Udowodnimy spontaniczne złamanie symetrii - istnienie przejścia fazowego typu lód woda. Przedyskutujemy 18. problem Hilberta i jego związki z kwazikryształami - mikroskopowymi modelami oddziałujących cząstek, dla których minimum funkcjonału energii osiągane jest tylko dla nieokresowych konfiguracji. Przedstawione zostaną nieokresowe parkietaże płaszczyzny i ich związki z teorią ergodyczną symbolicznych układów dynamicznych. Zajmiemy się też układami jednowymiarowymi - ciągami Thue-Morse'a i Fibonacciego i ogólnie układami Sturma. Przedyskutujemy gry ewolucyjne na regularnych i losowych grafach. Zaprezentowane zostaną fundamentalne otwarte problemy: istnienie nieokresowych miar Gibbsa i istnienie jednowymiarowych nieergodycznych automatów komórkowych. Nie zakładamy znajomości fizyki ani matematyki wykraczającej poza wykłady kursowe z dwóch pierwszych lat studiów. Plan wykładów 1. Dlaczego istnieją magnesy? Model Isinga odziaływujących spinów 2. Spontaniczne złamanie symetrii w ferromagnetycznym modelu Isinga 3. Ścisłe rozwiązanie jedno-wymiarowego modelu Isinga. Przybliżenie pola średniego w dwu-wymiarowym modelu Isinga 4. Uogólnienie modelu Isinga - klasyczne gazy sieciowe 5. Zasady wariacyjne - minimalizacja funkcjonału energii swobodnej 6. Nieokresowe parkietaże - 18 problem Hilberta 7. Mikroskopowe modele kwazikryształów - układy z nieokresowymi stanami okresowymi. 8. Nieokresowe miary Gibbsa 9. Symboliczne układy dynamiczne - ciągi Thue-Morse'a i Fibonacciego 10. Teoria ergodyczna układów nieokresowych 11. Jednowymiarowe układy oddziałujących cząstek bez okresowych stanów podstawowych 12. Automaty komórkowe 13. Gry ewolucyjne na regularnych i losowych grafach |
Literatura: |
1. Sacha Friedli and Yvan Velenik, Statistcal Mechanics of Lattice Systems - A Concrete Mathematical Introduction, Cambridge University Press, 2018 Książka dostępna on-line https://www.unige.ch/math/folks/velenik/smbook/ 2. Michael Baake and Uwe Grimm, Aperiodic Order, vol 1, A Mathematical Invitation, Cambridge University Press, 2013 |
Efekty uczenia się: |
Wiedza i umiejętności: 1. Zna ferromagnetyczny model Isinga, potrafi obliczyć magnetyzację w prostych modelach sieciowych. 2. Potrafi sformułować zasady wariacyjne. 3. Potrafi przedstawić proste modele gazów sieciowych bez okresowych stanów podstawowych. Kompetencje społeczne: Umie rozmawiać z fizykami. |
Metody i kryteria oceniania: |
Kryteria zaliczania: Zadania domowe 40% Projekt 60% |
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.