Uniwersytet Warszawski - Centralny System Uwierzytelniania
Strona główna

Podstawy K-teorii algebr grafowych

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-1M21KTA
Kod Erasmus / ISCED: 11.1 Kod klasyfikacyjny przedmiotu składa się z trzech do pięciu cyfr, przy czym trzy pierwsze oznaczają klasyfikację dziedziny wg. Listy kodów dziedzin obowiązującej w programie Socrates/Erasmus, czwarta (dotąd na ogół 0) – ewentualne uszczegółowienie informacji o dyscyplinie, piąta – stopień zaawansowania przedmiotu ustalony na podstawie roku studiów, dla którego przedmiot jest przeznaczony. / (0541) Matematyka Kod ISCED - Międzynarodowa Standardowa Klasyfikacja Kształcenia (International Standard Classification of Education) została opracowana przez UNESCO.
Nazwa przedmiotu: Podstawy K-teorii algebr grafowych
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty monograficzne dla matematyki 2 stopnia
Przedmioty obieralne na studiach drugiego stopnia na kierunku bioinformatyka
Strona przedmiotu: https://moodle.mimuw.edu.pl/course/view.php?id=659
Punkty ECTS i inne: (brak) Podstawowe informacje o zasadach przyporządkowania punktów ECTS:
  • roczny wymiar godzinowy nakładu pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się dla danego etapu studiów wynosi 1500-1800 h, co odpowiada 60 ECTS;
  • tygodniowy wymiar godzinowy nakładu pracy studenta wynosi 45 h;
  • 1 punkt ECTS odpowiada 25-30 godzinom pracy studenta potrzebnej do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się;
  • tygodniowy nakład pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się pozwala uzyskać 1,5 ECTS;
  • nakład pracy potrzebny do zaliczenia przedmiotu, któremu przypisano 3 ECTS, stanowi 10% semestralnego obciążenia studenta.

zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: angielski
Kierunek podstawowy MISMaP:

matematyka

Rodzaj przedmiotu:

monograficzne

Tryb prowadzenia:

mieszany: w sali i zdalnie

Przedmiot dedykowany programowi:

4EU+KURSY

Skrócony opis:

Algebry grafowe: relacje Cuntza-Kriegera, grafowe C*-algebry jako uniwersalne obwiednie C*-algebry algebr Leavitta, pullbacki grafowych C*-algebr.

K-teoria: sześcioelementowy ciąg dokładny krótkiego ciągu dokładnego C*-algebr i sześcioelementowy ciąg dokładny Mayera-Vietorisa jedno-surjektywnego pullbacku C*-algebr, twierdzenie Raeburna-Szymańskiego obliczające K-grupy grafowej C*-algebry z jej grafu.

Pełny opis:

K-teoria należy do głównego nurtu współczesnej matematyki, a grafowe C*-algebry okazały się niezwykle skuteczne w badaniu K-teorii algebr operatorów. Obecnie znajdują się na przodku badań topologii nieprzemiennej, ciesząc się znaczącymi wynikami badań. Celem wykładu jest wyjaśnienie od początku i systematycznie podstaw i zastosowań K-teorii grafowych C*-algebr. Zaczniemy od wprowadzenia grafowej C*-algebry jako uniwersalnej obwiedniej C*-algebry algebry Leavitta zorientowanego grafu. Następnie, wyjaśnimy kluczowe wyniki dotyczące reprezentacji na przestrzeni Hilberta, struktury ideałów grafowych C*-algebr oraz twierdzeń o injektywności Cuntza-Kriegera potrzebnych do stwierdzania injektywności pewnych *-homomorfizmów z grafowych C*-algebr.

Kurs kończy się zastosowaniami w topologii nieprzemiennej. Najpierw definiujemy K-grupy i wyjaśniamy podstawowe narzędzie K-teorii, czyli sześcioelementowy ciąg dokładny. W szczególności, pokazujemy jak klasyczna metoda topologiczna Atiyah redukująca sześcioelementowy ciąg dokładny Mayera-Vietorisa do standardowego sześcioelementowego ciągu dokładnego działa w pełnej ogólności C*-algebr. Następnie podajemy twierdzenie Raeburna-Szymańskiego obliczające K-grupy grafowej C*-algebry z jej grafu. Następnie dowodzimy, że wyposażając grafy w morfizmy Leavitta, przyporządkowanie grafom ich C*-algebr staje się funktorem kontrawariantnym do kategorii C*-algebr i *-homomorfizmów. Na koniec, pokażemy, kiedy ten funktor kontrawariantny zamienia pushouty grafów w pullbacki grafowych C*-algebr. Ilustracją tego wszystkiego jest cała gama naturalnych przykładów zakorzenionych w klasycznej topologii.

Literatura:

1. Graph Algebras, Piotr M. Hajac, Mariusz Tobolski, arxiv 1912.05136.

2. Leavitt Path Algebras, Gene Abrams, Pere Ara, Mercedes Siles Molina.

3. K-Theory and C*-Algebras: A Friendly Approach, Niels Erik Wegge-Olsen.

4. Algebras and Representation Theory, Karin Erdmann, Thorsten Holm.

5. C*-algebras and Operator Theory, Gerard J. Murphy.

Efekty uczenia się:

Zdobycie praktycznej wiedzy na temat grafowych C*-algebr i K-teorii algebr operatorów, umożliwiającej rozpoczęcie badań w tym obszarze matematyki. W zależności od poziomu zaangażowania, wykład ten może prowadzić do pracy magisterskiej lub doktorskiej.

Metody i kryteria oceniania: (tylko po angielsku)

Active participation in the recitation classes.

Przedmiot nie jest oferowany w żadnym z aktualnych cykli dydaktycznych.
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.
ul. Banacha 2
02-097 Warszawa
tel: +48 22 55 44 214 https://www.mimuw.edu.pl/
kontakt deklaracja dostępności USOSweb 7.0.3.0-2b06adb1e (2024-03-27)