Podstawy K-teorii algebr grafowych
Informacje ogólne
Kod przedmiotu: | 1000-1M21KTA |
Kod Erasmus / ISCED: |
11.1
|
Nazwa przedmiotu: | Podstawy K-teorii algebr grafowych |
Jednostka: | Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki |
Grupy: |
Przedmioty monograficzne dla matematyki 2 stopnia Przedmioty obieralne na studiach drugiego stopnia na kierunku bioinformatyka |
Strona przedmiotu: | https://moodle.mimuw.edu.pl/course/view.php?id=659 |
Punkty ECTS i inne: |
(brak)
|
Język prowadzenia: | angielski |
Kierunek podstawowy MISMaP: | matematyka |
Rodzaj przedmiotu: | monograficzne |
Tryb prowadzenia: | mieszany: w sali i zdalnie |
Przedmiot dedykowany programowi: | 4EU+KURSY |
Skrócony opis: |
Algebry grafowe: relacje Cuntza-Kriegera, grafowe C*-algebry jako uniwersalne obwiednie C*-algebry algebr Leavitta, pullbacki grafowych C*-algebr. K-teoria: sześcioelementowy ciąg dokładny krótkiego ciągu dokładnego C*-algebr i sześcioelementowy ciąg dokładny Mayera-Vietorisa jedno-surjektywnego pullbacku C*-algebr, twierdzenie Raeburna-Szymańskiego obliczające K-grupy grafowej C*-algebry z jej grafu. |
Pełny opis: |
K-teoria należy do głównego nurtu współczesnej matematyki, a grafowe C*-algebry okazały się niezwykle skuteczne w badaniu K-teorii algebr operatorów. Obecnie znajdują się na przodku badań topologii nieprzemiennej, ciesząc się znaczącymi wynikami badań. Celem wykładu jest wyjaśnienie od początku i systematycznie podstaw i zastosowań K-teorii grafowych C*-algebr. Zaczniemy od wprowadzenia grafowej C*-algebry jako uniwersalnej obwiedniej C*-algebry algebry Leavitta zorientowanego grafu. Następnie, wyjaśnimy kluczowe wyniki dotyczące reprezentacji na przestrzeni Hilberta, struktury ideałów grafowych C*-algebr oraz twierdzeń o injektywności Cuntza-Kriegera potrzebnych do stwierdzania injektywności pewnych *-homomorfizmów z grafowych C*-algebr. Kurs kończy się zastosowaniami w topologii nieprzemiennej. Najpierw definiujemy K-grupy i wyjaśniamy podstawowe narzędzie K-teorii, czyli sześcioelementowy ciąg dokładny. W szczególności, pokazujemy jak klasyczna metoda topologiczna Atiyah redukująca sześcioelementowy ciąg dokładny Mayera-Vietorisa do standardowego sześcioelementowego ciągu dokładnego działa w pełnej ogólności C*-algebr. Następnie podajemy twierdzenie Raeburna-Szymańskiego obliczające K-grupy grafowej C*-algebry z jej grafu. Następnie dowodzimy, że wyposażając grafy w morfizmy Leavitta, przyporządkowanie grafom ich C*-algebr staje się funktorem kontrawariantnym do kategorii C*-algebr i *-homomorfizmów. Na koniec, pokażemy, kiedy ten funktor kontrawariantny zamienia pushouty grafów w pullbacki grafowych C*-algebr. Ilustracją tego wszystkiego jest cała gama naturalnych przykładów zakorzenionych w klasycznej topologii. |
Literatura: |
1. Graph Algebras, Piotr M. Hajac, Mariusz Tobolski, arxiv 1912.05136. 2. Leavitt Path Algebras, Gene Abrams, Pere Ara, Mercedes Siles Molina. 3. K-Theory and C*-Algebras: A Friendly Approach, Niels Erik Wegge-Olsen. 4. Algebras and Representation Theory, Karin Erdmann, Thorsten Holm. 5. C*-algebras and Operator Theory, Gerard J. Murphy. |
Efekty uczenia się: |
Zdobycie praktycznej wiedzy na temat grafowych C*-algebr i K-teorii algebr operatorów, umożliwiającej rozpoczęcie badań w tym obszarze matematyki. W zależności od poziomu zaangażowania, wykład ten może prowadzić do pracy magisterskiej lub doktorskiej. |
Metody i kryteria oceniania: |
(tylko po angielsku) Active participation in the recitation classes. |
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.