Potok przekształceń harmonicznych
Informacje ogólne
Kod przedmiotu: | 1000-1M21PPH |
Kod Erasmus / ISCED: |
11.1
|
Nazwa przedmiotu: | Potok przekształceń harmonicznych |
Jednostka: | Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki |
Grupy: |
Przedmioty monograficzne dla matematyki 2 stopnia Przedmioty obieralne na studiach drugiego stopnia na kierunku bioinformatyka |
Punkty ECTS i inne: |
(brak)
|
Język prowadzenia: | angielski |
Rodzaj przedmiotu: | monograficzne |
Skrócony opis: |
Równanie ciepła jest najbardziej znanym przykładem problemu parabolicznego. Potok przekształceń harmonicznych stanowi przeniesienie tego problemu na grunt geometryczny – zamiast funkcji rzeczywistych rozpatrujemy funkcje o wartościach w ustalonej rozmaitości, np. w dwuwymiarowej sferze. Potok przekształceń harmonicznych można wówczas zdefiniować – w analogii do równania ciepła – jako potok gradientowy energii Dirichleta, czyli całki z kwadratu normy różniczki. Ze względu na geometryczne więzy powstałe równanie jest nieliniowe, a sama teoria istnienia i regularności rozwiązań sprawia już duże trudności. Prześledzimy zarówno te podstawowe zagadnienia, jak również fenomen powstawania osobliwości oraz rolę geometrii rozmaitości obranej jako przeciwdziedzina. |
Pełny opis: |
Wykład zakłada wiedzę ze Wstępu do równań różniczkowych cząstkowych (w tym podstawowe informacje o słabych pochodnych) oraz kursu Analizy matematycznej II.1 i II.2. Pomocna będzie też podstawowa znajomość geometrii różniczkowej i analizy funkcjonalnej. Tempo i dokładny zakres wykładu zostaną dopasowane do możliwości uczestników. Ćwiczenia będą miały częściowo charakter seminaryjny i poświęcone będą m.in. pojęciom geometrycznym i narzędziom analitycznym odgrywającym rolę w tej dziedzinie. Na wykładzie poruszone zostaną następujące zagadnienia: – Klasyczne równanie ciepła i jakościowe właściwości jego rozwiązań. Motywacja uogólnień na przypadek rozmaitości. – Uzupełnienie wiedzy z geometrii różniczkowej (rozmaitości Riemanna, podrozmaitości przestrzeni euklidesowej, twierdzenie o otoczeniu tubularnym, druga forma podstawowa, operator Laplace’a na rozmaitościach). – Informacja o przekształceniach harmonicznych między rozmaitościami. – Klasyczna teoria nieliniowych równań parabolicznych (w skrócie). – Zastosowanie klasycznej teorii dla potoku przekształceń harmonicznych w rozmaitość o niedodatniej krzywiźnie sekcyjnej. – Potok przekształceń harmonicznych w wymiarze 2 i zjawisko bąblowania. – Konstrukcja potoku przekształceń harmonicznych oparta na metodzie Ginzburga-Landaua. Charakteryzacja zbioru osobliwego. – Informacje na temat innych problemów ewolucyjnych pochodzenia geometrycznego. |
Literatura: |
Monografia: F. Lin and C. Wang. The analysis of harmonic maps and their heat flows. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Hackensack, NJ, 2008. Oryginalne prace: J. Eells, Jr. and J. H. Sampson. Harmonic mappings of Riemannian manifolds. Amer. J. Math., 86:109–160, 1964. Y. M. Chen and M. Struwe. Existence and partial regularity results for the heat flow for harmonic maps. Math. Z., 201(1):83–103, 1989. J. Cheeger, R. Haslhofer, and A. Naber. Quantitative stratification and the regularity of harmonic map flow. Calc. Var. Partial Differential Equations, 53(1-2):365–381, 2015 |
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.