Reprezentacje algebr dróg kołczanów

Informacje ogólne

Kod przedmiotu:	1000-1M21RAD
Kod Erasmus / ISCED:	11.1 Kod klasyfikacyjny przedmiotu składa się z trzech do pięciu cyfr, przy czym trzy pierwsze oznaczają klasyfikację dziedziny wg. Listy kodów dziedzin obowiązującej w programie Socrates/Erasmus, czwarta (dotąd na ogół 0) – ewentualne uszczegółowienie informacji o dyscyplinie, piąta – stopień zaawansowania przedmiotu ustalony na podstawie roku studiów, dla którego przedmiot jest przeznaczony. / (0541) Matematyka Kod ISCED - Międzynarodowa Standardowa Klasyfikacja Kształcenia (International Standard Classification of Education) została opracowana przez UNESCO.
Nazwa przedmiotu:	Reprezentacje algebr dróg kołczanów
Jednostka:	Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy:	Przedmioty monograficzne dla matematyki 2 stopnia Przedmioty obieralne na studiach drugiego stopnia na kierunku bioinformatyka
Punkty ECTS i inne:	(brak) Podstawowe informacje o zasadach przyporządkowania punktów ECTS: roczny wymiar godzinowy nakładu pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się dla danego etapu studiów wynosi 1500-1800 h, co odpowiada 60 ECTS; tygodniowy wymiar godzinowy nakładu pracy studenta wynosi 45 h; 1 punkt ECTS odpowiada 25-30 godzinom pracy studenta potrzebnej do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się; tygodniowy nakład pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się pozwala uzyskać 1,5 ECTS; nakład pracy potrzebny do zaliczenia przedmiotu, któremu przypisano 3 ECTS, stanowi 10% semestralnego obciążenia studenta. zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia:	angielski
Rodzaj przedmiotu:	monograficzne
Skrócony opis:	Celem wykładu jest zapoznanie słuchaczy z podstawowymi pojęciami dotyczącymi kategorii abelowych. Będziemy je omawiać na przykładzie kategorii reprezentacji kołczanów. Poznamy podstawowe pojęcia wspólne dla wszystkich kategorii abelowych. Dodatkowo dla reprezentacji kołczanów omówimy teorię Auslandera-Reiten oraz obiektów przechylających. Sklasyfikujemy algebry dziedziczne mające skończenie wiele klas izomorfizmów obiektów nierozkładalnych.
Pełny opis:	Kategorie abelowe. Reprezentacje kołczanów. Wprowadzimy pojęcia obiektów projektywnych, iniektywnych i zdefiniujemy pierwsze i wyższe grupy rozszerzeń. Opiszemy moduły projektywne i iniektywne dla modułów nad algebrą dróg kołczanu i nauczymy się liczyć grupy rozszerzeń pomiędzy obiektami tych kategorii. Scharakteryzujemy bazowe algebry dziedziczne jako algebry dróg kołczanów bez relacji. Auslander-Reiten. Omówimy ciągi prawie rozszczepialne, przesunięcie i kołczan Auslandera-Reiten. Policzymy przykłady kołczanu AR dla modułów nad kołczanem. Podamy funktorialną interpretację ciągów prawie rozszczepialnych. Teoria obiektów przechylających. Zdefiniujemy pary torsyjne i obiekty przechylające w kategorii reprezentacji kołczanów. Opiszemy związek między tymi pojęciami, a dokładniej parę torsyją przypisaną obiektowi przechylającemu. Twierdzenie Gabriela. Zdefiniujemy formę kwadratową kołczanu i udowodnimy twierdzenie Gabriela klasyfikujące dziedziczne algebry skończonego typu reprezentacyjnego.
Literatura:	1. Ibrahim Assem, Andrzej Skowroński, Daniel Simson "Elements of the Representation Theory of Associative Algebras" 2. Matej Bresar, "Introduction to noncommutative algebra" 3. Richard Pierce, "Associative Algebras" 4. Nicolae Popescu, "Abelian Categories with Applications to Rings and Modules"
Efekty uczenia się:	Student rozumie 1. pojęcie kategorii abelowej, 2. definicje grup pierwszych i wyższych rozszerzeń oraz produkt Yonedy pomiędzy tymi grupami, 3. zależność między modułami nad algebrą dróg kołczanu a reprezentacjami kołczanu, 4. klasyczną i funktorialną definicję ciągów prawie rozszczepialnych, 5. pojęcie pary torsyjnej i obiektu przechylającego, 6. ideę dowodu Tw Gabriela. Student potrafi: 1. obliczyć wymiar algebry zadanej przez kołczan i relacje, 2. liczyć grupy rozszerzeń pomiędzy konkretnymi modułami, 3. wypisać rezolwentę projektywną i iniektywną danego modułu, 4. narysować kołczan Auslandera-Reiten algebry skończonego typu reprezentacyjnego.
Metody i kryteria oceniania:	Ocena końcowa na podstawie aktywności na ćwiczeniach i egzaminu pisemnego z częścią ustną w razie wątpliwej oceny.

Przedmiot nie jest oferowany w żadnym z aktualnych cykli dydaktycznych.

Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.