Wybrane zagadnienia teorii mnogości małych podzbiorów przestrzeni polskich
Informacje ogólne
Kod przedmiotu: | 1000-1M21TMPP |
Kod Erasmus / ISCED: |
11.1
|
Nazwa przedmiotu: | Wybrane zagadnienia teorii mnogości małych podzbiorów przestrzeni polskich |
Jednostka: | Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki |
Grupy: |
Przedmioty monograficzne dla matematyki 2 stopnia Przedmioty obieralne na studiach drugiego stopnia na kierunku bioinformatyka |
Punkty ECTS i inne: |
(brak)
|
Język prowadzenia: | angielski |
Rodzaj przedmiotu: | monograficzne |
Założenia (opisowo): | Do uczestnictwa w wykładzie niezbędna jest znajomość teorii mnogości w zakresie nieco przekraczającym materiał ,,Wstępu do matematyki” (indukcja pozaskończona, liczby porządkowe i kardynalne) oraz elementarnych pojęć topologii ogólnej w zakresie wykładu ,,Topologia I”. |
Skrócony opis: |
Wykład będzie dotyczył zagadnień, leżących na styku deskryptywnej teorii mnogości oraz topologii ogólnej i teorii miary. Są one związane z ideałami na zbiorach przeliczalnych oraz z σ-ideałami na przestrzeniach polskich, tj. ośrodkowych przestrzeniach topologicznych, metryzowalnych w sposób zupełny. Pojęcie ideału na nieskończonym zbiorze X odpowiada intuicji rodziny podzbiorów tego zbioru, które z pewnego punktu widzenia są małe. Jest to więc rodzina podzbiorów X, różna od P(X), zamknięta na podzbiory oraz skończone sumy swoich elementów; jest ona σ-ideałem, gdy jest zamknięta na sumy przeliczalne. Ideały są obecne w wielu dziedzinach matematyki, a rozmaite zagadnienia, związane z nimi, stanowią przedmiot ciekawych i aktualnych badań, prowadzonych przez wielu znanych matematyków. |
Pełny opis: |
1. Elementy deskryptywnej teorii mnogości: przestrzenie polskie, zbiory borelowskie i analityczne, hiperprzestrzeń zbiorów zwartych, własność Baire’a, σ-ideał zbiorów pierwszej kategorii Baire’a i jego charakteryzacje. 2. Ideały na zbiorach przeliczalnych: charakteryzacja Talagranda ideałów z własnością Baire’a, charakteryzacja Mazura ideałów typu F_σ i Soleckiego P-ideałów analitycznych z pomocą podmiar. 3. σ-ideały na przestrzeniach polskich generowane przez zbiory domknięte: konstrukcja zbiorów typu G_δ spoza σ-ideału (systemy Hurewicza i twierdzenie Soleckiego), σ-ideały z własnością ,,1-1 lub stała” Saboka i Zapletala (każda funkcja borelowska ze zbioru borelowskiego spoza ideału w przestrzeń polską jest stała na zbiorze borelowskim spoza ideału lub różnowartościowa na zbiorze borelowskim spoza ideału). 4. σ-ideały zbiorów małych w sensie miary lub kategorii: zbiory uniwersalnie miary zero, zbiory silnie miary zero, zbiory zawsze pierwszej kategorii, zbiory uniwersalnie pierwszej kategorii, zbiory silnie pierwszej kategorii. |
Literatura: |
[1] A. S. Kechris, Classical descriptive set theory, Graduate Texts in Math. 156, Springer-Verlag (1995). [2] S. Solecki, Covering analytic sets by families of closed sets, Journal of Symbolic Logic 59(3) (1994), 1022–1031. [3] S. Solecki, Analytic ideals and their applications, Ann. Pure Appl. Logic 99 (1999), 51–72. |
Efekty uczenia się: |
Student: 1. zna podstawy deskryptywnej teorii mnogości, w tym klasyczne przykłady przestrzeni polskich, definicje zbiorów borelowskich i analitycznych oraz zbiorów z własnością Baire'a i pierwszej kategorii, 2. umie się posługiwać znanymi charkteryzacjami ideałów na zbiorach przeliczalnych mających własność Baire’a lub typ F_σ, lub będących P-ideałami analitycznymi, 3. zna szczególne własności σ-ideałów generowanych przez domknięte podzbiory przestrzeni polskich, 4. potrafi wskazać przykłady zbiorów małych w sensie miary lub kategorii i opisać wzajemne związki pomiędzy różnymi klasami takich zbiorów. |
Metody i kryteria oceniania: |
Egzamin |
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.