Teoriomiarowe aspekty rachunku wariacyjnego
Informacje ogólne
Kod przedmiotu: | 1000-1M21TRW |
Kod Erasmus / ISCED: |
11.1
|
Nazwa przedmiotu: | Teoriomiarowe aspekty rachunku wariacyjnego |
Jednostka: | Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki |
Grupy: |
Przedmioty monograficzne dla matematyki 2 stopnia Przedmioty obieralne na studiach drugiego stopnia na kierunku bioinformatyka |
Punkty ECTS i inne: |
(brak)
|
Język prowadzenia: | angielski |
Rodzaj przedmiotu: | monograficzne |
Skrócony opis: |
Zostanie przedstawiona ta część rachunku wariacyjnego, gdzie istotną rolę grają obiekty definiowane poprzez miary. Są to m.in. funkcjonały określona na przestrzeniach miar Radona. Zostanie przedstawiona motywacja do takich rozważań. Przedstawione będzie pojęcie zagadnienia dualnego i konieczny wstęp do analizy wypukłej. Jako zastosowanie przedstawione będzie zagadnienie Monge'a-Kantorowicza optymalnego transportu miary. |
Pełny opis: |
Grupa zagadnień optymalizacyjnych takich jak transport optymalny, czy swobodne projektowanie materiałów wykorzystuje narzędzia teorii miary wspomagane analizą wypukłą. Chcemy przedstawić staranny wstęp do takich metod i zagadnień jednocześnie dojść do współczesnych zagadnień badawczych. Zajmiemy się podstawowym problemem rachunku wariacyjnego, w kontekście miar, jakim jest badanie istnienia punktów minimalnych. Wymaga to zbadania dolnej półciągłości funkcjonałów. W tym celu przedstawimy twierdzenie Reszetniaka i twierdzenie o plasterkowaniu miar, które jest ciekawe z ogólnego punktu widzenia. Wielce przydatne okazują się tutaj metody analizy wypukłej oparte na transformacji Legendre'a-Fenchla. Zobaczymy przykład ich zastosowania do zagadnienia na zbiorach o wymiarze niższym niż otaczająca przestrzeń euklidesowa. Ważnym pojęciem analizy wypukłej jest `zagadnienia dualne', [ET]. Bywa, że jest ono prostsze niż zagadnienie pierwotne. Pozwala też na konstrukcje rozwiązań zagadnienia pierwotnego, [S]. Przykładem jest zagadnienie Monge'a optymalnego transportu miary. Oprócz tego, rozważanie zagadnień dualnych jest jednym ze sposobów znajdowania relaksacji funkcjonałów, [ET], czyli ich obwiedni dolnie półciągłych. Planujemy przedstawienie fragmentu teorii Gamma-zbieżności funkcjonałów, który pozwoli na zbadać zbieżność potoków gradientowych. |
Literatura: |
[AFP] Ambrosio, Luigi; Fusco, Nicola; Pallara, Diego Functions of bounded variation and free discontinuity problems. Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 2000. [BBS] G.Bouchitte, G.Buttazzo, P.Seppecher, Energies with respect to a measure and applications to low-dimensional structures, Calc. Var. Partial Differential Equations, 5 (1997), no. 1, 37--54. [ET] Ekeland, Ivar; Témam, Roger Convex analysis and variational problems. Translated from the French. Corrected reprint of the 1976 English edition. Classics in Applied Mathematics, 28. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 1999 [S] Santambrogio, Filippo Optimal transport for applied mathematicians. Calculus of variations, PDEs, and modeling. Progress in Nonlinear Differential Equations and their Applications, 87. Birkhäuser/Springer, Cham, 2015. inna podana wykładzie |
Efekty uczenia się: |
1) Słuchacz zna i rozumie podstawowe zagadnienia rachunku wariacyjnego, zna i rozumie elementy analizy wypukłej; 2) Słuchacz zna i rozumie podstawowe zagadnienia minimalizacyjne na przestrzeni miar Radona. 3) Słuchacz zna i rozumie zagadnienia dualnego w analizie wypukłej. |
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.