Uniwersytet Warszawski - Centralny System Uwierzytelniania
Strona główna

Ekwiwariantne kohomologie w geometrii algebraicznej

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-1M23EK
Kod Erasmus / ISCED: 11.0 Kod klasyfikacyjny przedmiotu składa się z trzech do pięciu cyfr, przy czym trzy pierwsze oznaczają klasyfikację dziedziny wg. Listy kodów dziedzin obowiązującej w programie Socrates/Erasmus, czwarta (dotąd na ogół 0) – ewentualne uszczegółowienie informacji o dyscyplinie, piąta – stopień zaawansowania przedmiotu ustalony na podstawie roku studiów, dla którego przedmiot jest przeznaczony. / (0540) Matematyka i statystyka Kod ISCED - Międzynarodowa Standardowa Klasyfikacja Kształcenia (International Standard Classification of Education) została opracowana przez UNESCO.
Nazwa przedmiotu: Ekwiwariantne kohomologie w geometrii algebraicznej
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty monograficzne dla matematyki 2 stopnia
Strona przedmiotu: https://www.mimuw.edu.pl/~aweber/ekwga
Punkty ECTS i inne: 6.00 Podstawowe informacje o zasadach przyporządkowania punktów ECTS:
  • roczny wymiar godzinowy nakładu pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się dla danego etapu studiów wynosi 1500-1800 h, co odpowiada 60 ECTS;
  • tygodniowy wymiar godzinowy nakładu pracy studenta wynosi 45 h;
  • 1 punkt ECTS odpowiada 25-30 godzinom pracy studenta potrzebnej do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się;
  • tygodniowy nakład pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się pozwala uzyskać 1,5 ECTS;
  • nakład pracy potrzebny do zaliczenia przedmiotu, któremu przypisano 3 ECTS, stanowi 10% semestralnego obciążenia studenta.
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: angielski
Kierunek podstawowy MISMaP:

fizyka
matematyka
Rodzaj przedmiotu:

monograficzne
Wymagania (lista przedmiotów):

Metody algebraiczne geometrii i topologii 1000-135MGT
Topologia algebraiczna 1000-135TA
Założenia (lista przedmiotów):

Geometria algebraiczna 1000-135GEA
Geometria różniczkowa 1000-135GR
Założenia (opisowo):

Znajomość singularnej teorii kohomologii lub teorii de Rhama, podstawy geometrii różniczkowej i algebraicznej.
Tryb prowadzenia:

w sali
Skrócony opis:

Ekwiwariantna teoria kohomologii Borela jest wprowadzona metodami topologicznymi i różniczkowymi. Stosowana jest do klasycznych przestrzeni geometri algebraicznej, takich jak rozmaitości flag i Grassmaniany. Własności kohomologii ekwiwariantnych rozmaitości rzutowych są omówione. Zastosowania wykorzystują ekwiwariantną formalność i twierdzenie o lokalizacji dla działania torusa. Omówiony jest ekwiwariantny rachunek Schuberta.
Pełny opis:

Działania torusa na przestrzeni liniowej, wagi, charaktery.

Podstawowe informacje o działaniach spójnych grup na rozmaitościach gładkich, działanie algebry Lie.

Twierdzenie o slajsie, ekwiwariantne CW-kompleksy.

Wiązki główne, przestrzenie klasyfikujące, rozmaitości Stiefela.

Ekwiwariantne kohomologie Borela, obliczenia dla przestrezni jednorodnych (rozmaitości Grassmanna, rozmaitości flag).

Interpretacja kohomologii ekwiwariantnych za pomocą form różniczkowych. Algebra Weila, koneksja. Skręt Mathai-Quillena, teoria de Rhama - Cartana.

Ekwiwariantne wiązki, ekwiwariantne klasy charakterystyczne.

Ekwiwariantna formalność kohomologii. Formakność rozmaitości rzutowych.

Twierdzenie o lokalizacji Borela dla działania torusa.

Twierdzenie o lokalizacji Atiyah-Bott-Beline-Vergne, formuła całkowa, formuła Duistermaata–Heckmana dla działań hamiltonowskich.

Przestrzenie GKM, lemat Changa-Skjelbreda.

Odwzorowanie momentu.

Zastosowania twierdzenia o lokalizacji do obliczenia charakterystyki Eulera wiązek ekwiwariantnych.

Ekwiwariantny rachunek Schuberta.
Literatura:

D. Anderson, W. Fulton: Equivariant Cohomology in Algebraic Geometry

V. Guillemin, S. Sternberg: Supersymmetry and Equivariant de Rham Theory , Springer 1999
Efekty uczenia się:

Stdent zapoznaje się z podstawowymi pojęciami ekwiwariantnej teorii kohomologii.

Poznaje topologiczną konstrukcję i umie ją porównać z konstrukcją opartą o metody geometrii różniczkowej..

Poznaje zastosowania w geometrii algbraicznej, w sczególności do badania przestrzeni jednorodnych.

Student osiąga znajomość bieżacego stanu wiedzy z dziedziny na poziomie wystarczającym do podjęcia samodzielnych badań.
Metody i kryteria oceniania:

1/3 rozwiązywanie zadań na ćwiczeniach,

1/3 esej,

1/3 egzamin ustny

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2023/24" (zakończony)

Okres: 2023-10-01 - 2024-01-28
Wybrany podział planu:
Przejdź do planu
Typ zajęć:
Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład monograficzny, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Andrzej Weber
Prowadzący grup: Andrzej Weber
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2024/25" (jeszcze nie rozpoczęty)

Okres: 2025-02-17 - 2025-06-08
Wybrany podział planu:
Przejdź do planu
Typ zajęć:
Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład monograficzny, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Andrzej Weber
Prowadzący grup: (brak danych)
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.
ul. Banacha 2
02-097 Warszawa tel: +48 22 55 44 214 https://www.mimuw.edu.pl/ kontakt deklaracja dostępności USOSweb 7.0.3.0-2b06adb1e (2024-03-27)