Geometryczna teoria miary i zagadnienia wariacyjne
Informacje ogólne
Kod przedmiotu: | 1000-1M23TMW |
Kod Erasmus / ISCED: |
11.1
|
Nazwa przedmiotu: | Geometryczna teoria miary i zagadnienia wariacyjne |
Jednostka: | Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki |
Grupy: |
Przedmioty monograficzne dla matematyki 2 stopnia |
Strona przedmiotu: | https://moodle.mimuw.edu.pl/course/view.php?id=2068 |
Punkty ECTS i inne: |
6.00
|
Język prowadzenia: | angielski |
Kierunek podstawowy MISMaP: | matematyka |
Rodzaj przedmiotu: | monograficzne |
Wymagania (lista przedmiotów): | Teoria miary 1000-135TM |
Założenia (lista przedmiotów): | Geometria różniczkowa 1000-135GR |
Założenia (opisowo): | Poza materiałem obowiązkowych kursów etapu licencjackiego student powinien zaznajomić się z materiałem wykładu „Teoria miary”. W szczególności przydatne będzie tw. pokryciowe Biezikowicza, teoria różniczkowania miar Radona, tw. Riesza o reprezentacji, pojęcie słabej zbieżności miar. Należy przypomnieć sobie z kursu Analizy Matematycznej podstawowe fakty o rozmaitościach różniczkowych zanurzonych w Rn, formach różniczkowych i tw. Stokesa, zaś z kursu Topologii m.in. twierdzenie Tichonowa o zwartości iloczynu kartezjańskiego dowolnej rodziny przestrzeni zwartych. Pomocna może okazać się znajomość definicji iloczynu tensorowego i potęgi zewnętrznej (przez własność uniwersalną) oraz ogólna otwartość na nieco algebraiczny i kategoryjny sposób myślenia. |
Tryb prowadzenia: | w sali |
Skrócony opis: |
Geometryczna teoria miary polega na badaniu obiektów geometrycznych metodami teorii miary. Z rozmaitością zanurzoną w Rn można stowarzyszyć miarę Hausdorff obciętą do danej rozmaitości lub do wiązki stycznej tej rozmaitości. Rozważając ciąg takich miar i przechodząc do słabej granicy dostajemy bardziej ogólne obiekty, np. varifoldy lub prądy. Badamy funkcjonały określone na takich obiektach oraz ich punkty krytyczne, tj. stacjonarne varifoldy (uogólnienie powierzchni minimalnych). Wykład ma na celu zaprezentowanie aktualnej wiedzy w tej dziedzinie w stopniu pozwalającym na podjęcie samodzielnych badań. Zaczniemy od klasycznych wzorów area i coarea oraz wprowadzimy pojęcie prostowalności. Następnie omówmy podstawową teorię varifoldów. Na koniec skupimy się na kluczowym pojęciu eliptyczności funkcjonałów, które nie jest do tej pory dość dobrze zbadane. |
Pełny opis: |
Wykład jest naturalną kontynuacją kursu „Teoria miary”, którego materiał będzie punktem wyjścia do dalszych rozważań. Punktem dojścia ma być bieżący stan wiedzy na temat geometrycznych zagadnień wariacyjnych oraz znajomość głównych problemów otwartych w tej dziedzinie. W szczególności skupimy się na słabo do tej pory zrozumianym, a kluczowym, pojęciu eliptyczności. Siłą rzeczy sporo materiału będzie opowiedziane poglądowo, bez prezentowania szczegółowych dowodów, choć zawsze z odniesieniem do konkretnych prac naukowych. Celem jest zaprezentowanie aktualnego stanu wiedzy na poziomie wystarczającym do podjęcia samodzielnych badań. Wykład
Ćwiczenia
|
Literatura: |
[1] Herbert Federer Geometric measure theory, 1969 [2] Luigi Ambrosio, Nicola Fusco, Diego Pallara Functions of bounded variation and free discontinuity problems Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 2000. ISBN: 0-19-850245-1 [3] Pertti Mattila Geometry of sets and measures in Euclidean spaces, 1995 [4] Philippis, Guido De / Rosa, Antonio De / Ghiraldin, Francesco Communications on Pure and Applied Mathematics , Vol. 71, No. 6, 2018 [5] J. C. Álvarez Paiva, A. C. Thompson Volumes on normed and Finsler spaces A sampler of Riemann-Finsler geometry, Vol. 50, 2004 [6] Antonio De Rosa, Sławomir Kolasiński Equivalence of the ellipticity conditions for geometric variational problems Communications on Pure and Applied Mathematics , Vol. 73, No. 11, 2020 [7] Antonio De Rosa, Riccardo Tione Regularity for graphs with bounded anisotropic mean curvature Inventiones mathematicae , Vol. 230 p. 463 - 507, 2020 [8] Brian White The maximum principle for minimal varieties of arbitrary codimension Communications in Analysis and Geometry, Vol. 18, No. 3, p. 421 - 432, 2010 [9] Nicolas Bourbaki Topological vector spaces. Chapters 1-5. Elements of Mathematics (Berlin). Springer-Verlag, Berlin, 1987. [10] William K. Allard On the first variation of a varifold. Ann. of Math. (2) 95, 1972 [11] Frederick J., Jr. Almgren Ann. of Math. (2) 87, 1968 [12] Yangqin Fang, Sławomir Kolasiński Existence of solutions to a general geometric elliptic variational problem. Calc. Var. Partial Differential Equations 57, 2018 |
Efekty uczenia się: |
Znajomość bieżącego stanu wiedzy na temat geometrycznych zagadnień wariacyjnych na poziomie wystarczającym do podjęcia samodzielnych badań. W szczególności:
|
Metody i kryteria oceniania: |
Egzamin ustny z teorii. Pozytywny wpływ na końcową ocenę mogą mieć następujące aktywności na ćwiczeniach:
a także:
|
Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2023/24" (w trakcie)
Okres: | 2024-02-19 - 2024-06-16 |
Przejdź do planu
PN WYK
CW
WT ŚR CZ PT |
Typ zajęć: |
Ćwiczenia, 30 godzin
Wykład, 30 godzin
|
|
Koordynatorzy: | Sławomir Kolasiński | |
Prowadzący grup: | Sławomir Kolasiński | |
Strona przedmiotu: | https://www.mimuw.edu.pl/~skola/2023L-GTM/ | |
Lista studentów: | (nie masz dostępu) | |
Zaliczenie: | Egzamin |
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.