Uniwersytet Warszawski - Centralny System Uwierzytelniania
Strona główna

Wstęp do metod lepkościowych i potencjalnych dla wszelkich równań różniczkowych cząstkowych

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-1S20WML
Kod Erasmus / ISCED: 11.1 Kod klasyfikacyjny przedmiotu składa się z trzech do pięciu cyfr, przy czym trzy pierwsze oznaczają klasyfikację dziedziny wg. Listy kodów dziedzin obowiązującej w programie Socrates/Erasmus, czwarta (dotąd na ogół 0) – ewentualne uszczegółowienie informacji o dyscyplinie, piąta – stopień zaawansowania przedmiotu ustalony na podstawie roku studiów, dla którego przedmiot jest przeznaczony. / (0541) Matematyka Kod ISCED - Międzynarodowa Standardowa Klasyfikacja Kształcenia (International Standard Classification of Education) została opracowana przez UNESCO.
Nazwa przedmiotu: Wstęp do metod lepkościowych i potencjalnych dla wszelkich równań różniczkowych cząstkowych
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Seminaria monograficzne dla matematyki 2 stopnia
Punkty ECTS i inne: (brak) Podstawowe informacje o zasadach przyporządkowania punktów ECTS:
  • roczny wymiar godzinowy nakładu pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się dla danego etapu studiów wynosi 1500-1800 h, co odpowiada 60 ECTS;
  • tygodniowy wymiar godzinowy nakładu pracy studenta wynosi 45 h;
  • 1 punkt ECTS odpowiada 25-30 godzinom pracy studenta potrzebnej do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się;
  • tygodniowy nakład pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się pozwala uzyskać 1,5 ECTS;
  • nakład pracy potrzebny do zaliczenia przedmiotu, któremu przypisano 3 ECTS, stanowi 10% semestralnego obciążenia studenta.

zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: angielski
Kierunek podstawowy MISMaP:

matematyka

Rodzaj przedmiotu:

seminaria monograficzne

Tryb prowadzenia:

zdalnie

Skrócony opis:

Punktem wyjścia seminarium jest klasyczna metoda Perrona konstrukcji rozwiązań równania Laplace'a. Kluczową rolę odgrywa tu zasada maksimum i funkcje nad- i podharmoniczne.

Jedno z możliwych uogólnień tej metody i pojęć prowadzi do rozwiązań lepkościowych szerokiej klasy równań eliptycznych, parabolicznych, Hamiltona-Jacobiego a nawet różniczkowo-całkowych.

Inne uogólnienie prowadzi do funkcji A-harmonicznych i teorii regularności rozwiązań równań eliptycznych i parabolicznych, opartą na teorii potencjału Wolffa.

Pełny opis:

Chcemy przedstawić pewien wątek rozwoju RRCz, który jest oparty na metodzie Perrona dla operatora Laplace'a. Jedna z jego gałęzi dotyczy wykazywania istnienia rozwiązań problemów nieliniowych przy pomocy tzw. metody znikającej lepkości. Druga gałąź zajmuje się rozwijaniem metod badania regularności rozwiązań dla zagadnień nieliniowych w oparciu o analizę pewnych potencjałów (potencjał Wolffa) dla miar generowanych przez rozwiązania otrzymane przez uogólnienie wspomnianej metody Perrona.

Metoda znikającej lepkości polega na wprowadzeniu do równania dodatkowego członu gwarantującego istnienie rozwiązań przybliżonych. Ich zbieżność jest osiągana za pomocą zasady porównawczej opartej na zasadzie maksimum.

Wspomniana zasada porównawcza leży u podstaw metody Perrona konstrukcji rozwiązań.

Opowiemy o metodzie Perrona w klasycznym sformułowaniu dla równania Laplace'a. Zajmiemy się metodą znikającej lepkości dla równania Hamiltona-Jacobiego. Wprowadzimy pojęcie rozwiązania lepkościowego dla zagadnień eliptycznych, parabolicznych i szczególnych równań pierwszego rzędu. Zajmiemy się najnowszymi tendencjami stosowania teorii lepkościowej do równań różniczkowo-całkowych.

Wyjaśnimy sukces teorii lepkościowej: z jej pomocą można konstruować rozwiązania tam, gdzie inne narzędzia zawodzą, z uwagi na pojawiające się osobliwości rozwiązań. Głośnym tego przykładem są zagadnienia geometryczne związane z potokiem średniokrzywiznowym. Omówimy je zgodnie z zainteresowaniami słuchaczy.

Metoda Perrona leży także u podstaw pewnej metody badania regularności rozwiązań. Bazuje ona na tym, że klasyczne pojęcia funkcji nad- oraz podharmonicznej związane z operatorem Laplace'a można uogólnić dla szerokiej klasy operatorów nieliniowych. Tak zwane funkcje A-superharmoniczne nie są nadrozwiązaniami czy podrozwiązaniami w ścisłym sensie, lecz spełniają zasadę porównawczą względem słabych rozwiązań dla nieliniowych problemów jednorodnych (uogólnienie pojęcia

funkcji harmonicznej). Okazuje się, że operator różniczkowy działający na funkcji A-superharmonizcnej generuje pewną miarę. Analiza zachowania tzw. potencjału Wolffa dla tej miary pozwala na badanie regularności (ciągłości, różniczkowalności) uogólnionego rozwiązania. To zaś prowadzi do ładnych twierdzeń o regularności słabych rozwiązań dla niejednorodnych nieliniowych zagadnień eliptycznych.

Przedstawimy działanie tej metody dla nieliniowego operatora p-laplasjanu i jego uogólnień, również w przypadku wektorowym, tj. dla

układów równań.

Literatura:

[BCCI] G.Barles, E.Chasseigne, A.Ciomaga, C.Imbert, Lipschitz regularity of solutions formixed integro-differential equations, J. Differential Equations, 252 (2012), 6012-6060.

[C] M.G. Crandal, Viscosity solutions: a primer, Lecture Notes in Math., 1660, Fond. CIME/CIME Found. Subser., Springer, Berlin, 1997

[CIL] M.G.Crandall, H.Ishii, P.-L.Lions, User's guide to viscosity solutions of second order partial differential equations. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 27 (1992), no. 1, 1-67

[GT] D. Gilbarg, N.S. Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order, Springer, Berlin, 1983.

[I] H.Ishii, Perron's method for Hamilton-Jacobi equations. Duke Math. J. 55 (1987), no. 2, 369-384.

[HKM] J. Heinonen, T. Kilpelainen, O. Martio, Nonlinear potential

theory of degenerated elliptic equations, Courier Dover Publications,

2006;

[KM] T. Kilpelainen, J. Maly, Degenerate elliptic equations with

measure data and nonlinear potentials, Annali della Scuola Normale

Superiore di Pisa, 1992

[KuMi] T. Kuusi, G. Mingione, Vectorial nonlinear potential theory,

J. Europ. Math. Soc. (JEMS) (2018)

Efekty uczenia się:

Student:

1. zna pojęcia rozwiązania lepkościowego dla równań dopuszczających zasadę maksimum.

2. zna metodę Perrona.

3. umie stosować powyższe pojęcia.

Metody i kryteria oceniania:

Warunkiem zaliczenia jest przedstawienie przynajmniej jednego referatu w semestrze.

Przedmiot nie jest oferowany w żadnym z aktualnych cykli dydaktycznych.
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.
ul. Banacha 2
02-097 Warszawa
tel: +48 22 55 44 214 https://www.mimuw.edu.pl/
kontakt deklaracja dostępności USOSweb 6.8.0.0-931e56a2a (2022-09-30)