Równania różniczkowe na zbiorach niskowymiarowych

Równania różniczkowe na rozmaitościach są naturalnym uogólnieniem znanych zagadnień rozważanych na obszarach w przestrzeni euklidesowej. W zastosowaniach pojawiają się sytuacje, gdy pojawia się konieczność rozpatrywania równań na zbiorach pozbawionych struktury rozmaitości topologicznej, np. na zbiorze o kształcie litery Y lub X.

W takiej sytuacji możliwe są różne interpretacje równania. Na seminarium chcemy się zająć dwoma możliwymi sposobami podejścia do tego tematu. Pierwszy z nich bazuje na narzędziach z teorii miary, skupiając się na danym zbiorze jako na nośniku pewnej miary w R^n. Drugi bazuje na technice pogrubiania zbioru i wymaga wprowadzenia pojęcia Gamma-zbieżności.

Wiadomo, że wygodnie jest rozważać słabe sformułowania równań w przestrzeniach Sobolewa. Przedstawimy możliwe konstrukcje przestrzeni typu Sobolewa, bazujące na pojęciu przestrzeni stycznej do miary i pojęciu gradientu stycznego. Przedstawimy przykłady prostych zagadnień eliptycznych wykorzystujących wprowadzony aparat matematyczny, zajmiemy się zagadnieniami istnienia i regularności rozwiązań.

Mimo pewnego podobieństwa do klasycznej sytuacji (tzn. równań zadanych na otwartych podzbiorach R^n), nawet w prostych przypadkach można napotkać trudności związane np. z konstrukcją przestrzeni Sobolewa wyższego rzędu.

Przedstawimy ciekawe problemy związane z ciągłą zależnością samej przestrzeni Sobolewa od miary. Mamy tu na myśli przypadek ciągu takich przestrzeni Sobolewa, gdy nośnik miary granicznej ma niższy wymiar.

Drugie podejście do badania równań na zbiorach niskowymiarowych oparte jest na pojęciu Gamma-zbieżności funkcjonałów wariacyjnych. Jednym z wniosków wypływających z tego faktu jest zbieżność punktów minimalnych do punktu minimalnego funkcjonału granicznego. Wykorzystuje się tutaj fakt, iż punktu minimalne są rozwiązaniami równań, tzw równań Eulera-Lagrange'a. Przedstawimy przykłady zastosowań tej techniki.

Oprócz tego będziemy chcieli odpowiedzieć na pytanie, czy możliwe jest przeniesienia znanych prostych wzorów, np. d'Alemberta dla równania falowego, na przypadek równania na grafie.

1. Student zna pojęcie przestrzeni styczne do miary i jej możliwe konstrukcje.

2. Student zna pojęcie przestrzeni Sobolewa zależnej od miary

3. Student zna pojęcie Gamma-zbieżności