Aksjomatyczna teoria mnogości
Informacje ogólne
Kod przedmiotu: | 1000-1S22ATM |
Kod Erasmus / ISCED: |
11.1
|
Nazwa przedmiotu: | Aksjomatyczna teoria mnogości |
Jednostka: | Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki |
Grupy: |
Seminaria monograficzne dla matematyki 2 stopnia |
Punkty ECTS i inne: |
(brak)
|
Język prowadzenia: | angielski |
Kierunek podstawowy MISMaP: | matematyka |
Rodzaj przedmiotu: | monograficzne |
Założenia (opisowo): | Do udziału w seminarium mocno wskazane jest wcześniejsze zaliczenie przedmiotów fakultatywnych Teoria Mnogości i Logika Matematyczna lub przedmiotów o zbliżonym programie. |
Tryb prowadzenia: | w sali |
Skrócony opis: |
Celem seminarium jest przedstawienie teorii mnogości jako aksjomatycznej podstawy całej matematyki, a zarazem przedmiotu badań logicznych. Planujemy omawiać standardową teorię mnogości Zermelo-Fraenkla z aksjomatem wyboru ZFC, jej podteorie oraz dodatkowe aksjomaty. |
Pełny opis: |
Głównym celem seminarium będzie zaprezentowanie teorii mnogości jako teorii formalnej, stanowiącej z jednej strony aksjomatyczną podstawę całej matematyki, a z drugiej strony przedmiot badań logicznych dotyczących niesprzeczności jej fragmentów i rozszerzeń. Zależy nam zarówno na zrozumieniu roli standardowych aksjomatów w rozumowaniach matematycznych, jak i na przyjrzeniu się konsekwencjom dodatkowych aksjomatów. Wątkiem pobocznym będą twierdzenia i dowody z kombinatoryki nieskończonej stanowiące uzupełnienie wykładu fakultatywnego Teoria Mnogości. Program minimum zakłada omówienie następujących zagadnień: • Aksjomaty teorii mnogości Zermelo-Fraenkla ZFC, zależności między nimi, modele dla (fragmentów) teorii mnogości, absolutność, tw. Goedla dla teorii ZFC i pokrewnych. • Hierarchie kumulatywne, zasada refleksji, klasa zbiorów ufundowanych WF, niezależność aksjomatu ufundowania od pozostałych aksjomatów. • Uniwersum konstruowalne L, aksjomat konstruowalności V=L, relatywna niesprzeczność Aksjomatu Wyboru AC i Uogólnionej Hipotezy Continuum GCH z ZF. • Aksjomat wyboru AC i jego słabsze wersje, matematyka bez AC, modele permutacyjne, niezależność AC od teorii mnogości bez aksjomatu ufundowania, paradoks Banacha-Tarskiego. • Wielkie liczby kardynalne, zależności między nimi, liczby mierzalne a elementarne włożenia, nieistnienie liczb mierzalnych w L. • Bardziej zaawansowane elementy kombinatoryki nieskończonej, np. tw. Silvera, prosta i drzewo Suslina, zasada diamond i zasady pokrewne, ich prawdziwość w L i ich konsekwencje. Ponadto przewidujemy omówienie niektórych z poniższych tematów, w zależności od czasu i zainteresowań uczestników: • Konsekwencje V=L lub aksjomatów wielkoliczbowych dla deskryptywnej teorii mnogości. • Dodatkowe aksjomaty w teorii mnogości (np. Hipoteza Continuum CH, Aksjomat Martina MA, Aksjomat Własności Pokryciowej CPA, Aksjomat Otwartego Kolorowania OCA, Aksjomat Determinacji Rzutowej PD) i przykłady ich konsekwencji w topologii, teorii miary i analizie rzeczywistej. • Twierdzenie Shoenfielda o absolutności. |
Efekty uczenia się: |
Student po ukończeniu przedmiotu: • Zna aksjomaty teorii mnogości Zermelo-Fraenkla ZFC i rozumie ich rolę przy przyjęciu tej teorii jako podstawy dla współczesnej matematyki. • Rozumie rolę poszczególnych aksjomatów w tej teorii, w szczególności orientuje się w sile i możliwościach różnych podteorii (np. teorii mnogości bez aksjomatu wyboru lub aksjomatu ufundowania). • Rozumie ogólną zasadę dowodów relatywnej niesprzeczności w odniesieniu do podteorii i rozszerzeń teorii mnogości, tzn. wie jakimi technikami można udowodnić, że do niesprzecznej teorii można dołączyć dodatkowy aksjomat z zachowaniem niesprzeczności. • Zna dowód relatywnej niesprzeczności uogólnionej Hipotezy Continuum (GCH) i Aksjomatu Wyboru z pozostałymi aksjomatami teorii mnogości. • Zna niektóre popularne dodatkowe aksjomaty teorii mnogości wraz z ich przykładowymi konsekwencjami. |
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.