Teoria kategorii w podstawach matematyki i informatyki teoretycznej
Informacje ogólne
Kod przedmiotu: | 1000-2M20TKJ |
Kod Erasmus / ISCED: |
11.303
|
Nazwa przedmiotu: | Teoria kategorii w podstawach matematyki i informatyki teoretycznej |
Jednostka: | Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki |
Grupy: |
Przedmioty obieralne dla informatyki Przedmioty obieralne na studiach drugiego stopnia na kierunku bioinformatyka |
Punkty ECTS i inne: |
(brak)
|
Język prowadzenia: | angielski |
Rodzaj przedmiotu: | monograficzne |
Skrócony opis: |
Celem niniejszego wykładu jest wprowadzenie do teorii kategorii ze szczególnym uwzględnieniem zastosowań w podstawach matematyki i teoretycznej informatyki. Czysto teoretyczne tematy będą przeplatane praktycznymi, m.in.: teorią automatów, języków i obliczeń w rozmaitych kategoriach (takich jak: definiowalne zbiory, przestrzenie wektorowe, przestrzenie topologiczne, itp.). |
Pełny opis: |
Teoria kategorii opiera się na obserwacji, że wiele „wewnętrznych” własności matematycznych obiektów może być „zewnętrznie” opisanych w terminach morfizmów pomiędzy obiektami. Przewagą takiej perspektywy nad klasyczną jest to, że daje ona bezpośredni sposób na transfer definicji, pojęć i idei pomiędzy różnymi gałęziami matematyki i teoretycznej informatyki. Taki transfer często prowadzi do powstania nowych dziedzin wiedzy. Przykłady obejmują: bezpunktową topologię, nieprzemienną geometrię, teorię motywów Grothendiecka, automaty nominalne, monadyczną logikę drugiego rzędu i wiele innych. Celem niniejszego wykładu jest wprowadzenie do teorii kategorii ze szczególnym uwzględnieniem zastosowań w podstawach matematyki i teoretycznej informatyki. Czysto teoretyczne tematy będą przeplatane praktycznymi, m.in.: teorią automatów, języków i obliczeń w rozmaitych kategoriach (takich jak: definiowalne zbiory, przestrzenie wektorowe, przestrzenie topologiczne, itp.). Program wykładu: 1. Kategorie. Podstawowe pojęcia i definicje. 2. Funktory i naturalne transformacje. 3. Lemat Yonedy. 4. Sprzężenia. 5. Automaty w kategoriach. Rozpoznawalność języków. 6. Rozwłóknienia. 7. Logika w kategoriach. 8. Kategorie koherentne i zbiory definiowalne w pozytywno-egzystencjalnych teoriach pierwszego rzędu. 9. Pretoposy i eliminacja wartości urojonych. 10. Toposy klasyfikujące. 11. Obliczenia w toposach klasyfikujących i w pretoposach. |
Literatura: |
• Adamek, Jiri, i Vera Trnková. Automata and algebras in categories. Vol. 37. Springer Science & Business Media, 1990. • Awodey, Steve. Category theory. Oxford university press, 2010. • Borceux, Francis. Handbook of Categorical Algebra: Volume 1, 2, 3. Cambridge University Press, 1994. • Hodges, Wilfrid, i Hodges Wilfrid. Model theory. Cambridge University Press, 1993. • Jacobs, Bart. Categorical logic and type theory. Elsevier, 1999. • Johnstone, Peter T. Sketches of an Elephant: A Topos Theory Compendium: 2 Volume Set, Oxford University Press, 2002. |
Efekty uczenia się: |
Wiedza: 1. Zna podstawowe pojęcia oraz wyniki z teorii kategorii. 2. Zna podstawowe pojęcia oraz wyniki z teorii automatów, języków i obliczeń w kategoriach. 3. Rozumie w jaki sposób teoria kategorii ma zastosowanie w podstawach matematyki i informatyki teoretycznej. Umiejętności: 1. Potrafi udowodnić podstawowe twierdzenia z teorii kategorii. 2. Potrafi udowodnić podstawowe twierdzenia z teorii automatów, języków i obliczeń w kategoriach. 3. Umie badać efektywność obliczeń realizowanych w pretoposach. 4. Potrafi przenosić podstawowe definicje, pojęcia i idee pomiędzy różnymi gałęziami matematyki i informatyki teoretycznej. Kompetencje: 1. Zna ograniczenia własnej wiedzy i rozumie potrzebę dalszego kształcenia, w tym zdobywania wiedzy pozadziedzinowej. 2. Potrafi precyzyjnie formułować pytania, służące pogłębieniu własnego zrozumienia danego tematu lub odnalezieniu brakujących elementów rozumowania |
Metody i kryteria oceniania: |
Pisemny egzamin jako praca domowa. |
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.