Uniwersytet Warszawski - Centralny System Uwierzytelniania
Strona główna

Teoria kategorii w podstawach matematyki i informatyki teoretycznej

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-2M20TKJ
Kod Erasmus / ISCED: 11.303 Kod klasyfikacyjny przedmiotu składa się z trzech do pięciu cyfr, przy czym trzy pierwsze oznaczają klasyfikację dziedziny wg. Listy kodów dziedzin obowiązującej w programie Socrates/Erasmus, czwarta (dotąd na ogół 0) – ewentualne uszczegółowienie informacji o dyscyplinie, piąta – stopień zaawansowania przedmiotu ustalony na podstawie roku studiów, dla którego przedmiot jest przeznaczony. / (0612) Database and network design and administration Kod ISCED - Międzynarodowa Standardowa Klasyfikacja Kształcenia (International Standard Classification of Education) została opracowana przez UNESCO.
Nazwa przedmiotu: Teoria kategorii w podstawach matematyki i informatyki teoretycznej
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty obieralne dla informatyki
Przedmioty obieralne na studiach drugiego stopnia na kierunku bioinformatyka
Punkty ECTS i inne: (brak) Podstawowe informacje o zasadach przyporządkowania punktów ECTS:
  • roczny wymiar godzinowy nakładu pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się dla danego etapu studiów wynosi 1500-1800 h, co odpowiada 60 ECTS;
  • tygodniowy wymiar godzinowy nakładu pracy studenta wynosi 45 h;
  • 1 punkt ECTS odpowiada 25-30 godzinom pracy studenta potrzebnej do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się;
  • tygodniowy nakład pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się pozwala uzyskać 1,5 ECTS;
  • nakład pracy potrzebny do zaliczenia przedmiotu, któremu przypisano 3 ECTS, stanowi 10% semestralnego obciążenia studenta.

zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: angielski
Rodzaj przedmiotu:

monograficzne

Skrócony opis:

Celem niniejszego wykładu jest wprowadzenie do teorii kategorii ze szczególnym uwzględnieniem zastosowań w podstawach matematyki i teoretycznej informatyki. Czysto teoretyczne tematy będą przeplatane praktycznymi, m.in.: teorią automatów, języków i obliczeń w rozmaitych kategoriach (takich jak: definiowalne zbiory, przestrzenie wektorowe, przestrzenie topologiczne, itp.).

Pełny opis:

Teoria kategorii opiera się na obserwacji, że wiele „wewnętrznych” własności matematycznych obiektów może być „zewnętrznie” opisanych w terminach morfizmów pomiędzy obiektami. Przewagą takiej perspektywy nad klasyczną jest to, że daje ona bezpośredni sposób na transfer definicji, pojęć i idei pomiędzy różnymi gałęziami matematyki i teoretycznej informatyki. Taki transfer często prowadzi do powstania nowych dziedzin wiedzy. Przykłady obejmują: bezpunktową topologię, nieprzemienną geometrię, teorię motywów Grothendiecka, automaty nominalne, monadyczną logikę drugiego rzędu i wiele innych.

Celem niniejszego wykładu jest wprowadzenie do teorii kategorii ze szczególnym uwzględnieniem zastosowań w podstawach matematyki i teoretycznej informatyki. Czysto teoretyczne tematy będą przeplatane praktycznymi, m.in.: teorią automatów, języków i obliczeń w rozmaitych kategoriach (takich jak: definiowalne zbiory, przestrzenie wektorowe, przestrzenie topologiczne, itp.).

Program wykładu:

1. Kategorie. Podstawowe pojęcia i definicje.

2. Funktory i naturalne transformacje.

3. Lemat Yonedy.

4. Sprzężenia.

5. Automaty w kategoriach. Rozpoznawalność języków.

6. Rozwłóknienia.

7. Logika w kategoriach.

8. Kategorie koherentne i zbiory definiowalne w pozytywno-egzystencjalnych teoriach pierwszego rzędu.

9. Pretoposy i eliminacja wartości urojonych.

10. Toposy klasyfikujące.

11. Obliczenia w toposach klasyfikujących i w pretoposach.

Literatura:

• Adamek, Jiri, i Vera Trnková. Automata and algebras in categories. Vol. 37. Springer Science & Business Media, 1990.

• Awodey, Steve. Category theory. Oxford university press, 2010.

• Borceux, Francis. Handbook of Categorical Algebra: Volume 1, 2, 3. Cambridge University Press, 1994.

• Hodges, Wilfrid, i Hodges Wilfrid. Model theory. Cambridge University Press, 1993.

• Jacobs, Bart. Categorical logic and type theory. Elsevier, 1999.

• Johnstone, Peter T. Sketches of an Elephant: A Topos Theory Compendium: 2 Volume Set, Oxford University Press, 2002.

Efekty uczenia się:

Wiedza:

1. Zna podstawowe pojęcia oraz wyniki z teorii kategorii.

2. Zna podstawowe pojęcia oraz wyniki z teorii automatów, języków i obliczeń w kategoriach.

3. Rozumie w jaki sposób teoria kategorii ma zastosowanie w podstawach matematyki i informatyki teoretycznej.

Umiejętności:

1. Potrafi udowodnić podstawowe twierdzenia z teorii kategorii.

2. Potrafi udowodnić podstawowe twierdzenia z teorii automatów, języków i obliczeń w kategoriach.

3. Umie badać efektywność obliczeń realizowanych w pretoposach.

4. Potrafi przenosić podstawowe definicje, pojęcia i idee pomiędzy różnymi gałęziami matematyki i informatyki teoretycznej.

Kompetencje:

1. Zna ograniczenia własnej wiedzy i rozumie potrzebę dalszego kształcenia, w tym zdobywania wiedzy pozadziedzinowej.

2. Potrafi precyzyjnie formułować pytania, służące pogłębieniu własnego zrozumienia danego tematu lub odnalezieniu brakujących elementów rozumowania

Metody i kryteria oceniania:

Pisemny egzamin jako praca domowa.

Przedmiot nie jest oferowany w żadnym z aktualnych cykli dydaktycznych.
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.
ul. Banacha 2
02-097 Warszawa
tel: +48 22 55 44 214 https://www.mimuw.edu.pl/
kontakt deklaracja dostępności USOSweb 7.0.3.0-2b06adb1e (2024-03-27)