Modele matematyczne nauk przyrodniczych

obowiązkowe

Wykład dotyczy zastosowania dyskretnych i ciągłych układów dynamicznych do opisu zjawisk przyrodniczych. Omawiane są podstawowe zagadnienia dotyczące analizowania modeli opisanych równaniami dyskretnymi i równaniami różniczkowymi zwyczajnymi, jak również najprostsze modele cząstkowe.

Treści programowe:

Przedstawienie podstawowych metod badania układów dynamicznych z czasem ciągłym (równania różniczkowe) i z czasem dyskretnym (równania różnicowe): rozwiązywanie układów równań liniowych, metody badania układów nieliniowych.

Dyskretne układy dynamiczne: przegląd możliwych typów zachowań trajektorii.

Równania różniczkowe zwyczajne: najprostsze metody całkowania, krzywe całkowe i fazowe, stabilność, portrety fazowe.

Zastosowanie układów dynamicznych do opisu różnych zjawisk – prezentacja i analiza wybranych modeli matematycznych: dynamika pojedynczej populacji, oddziaływania między populacjami, produkcja białka, przebieg epidemii.

Wskazanie podobieństw i różnic między opisem ciągłym i dyskretnym na przykładzie wybranych modeli.

Informacje o najważniejszych liniowych równaniach różniczkowych cząstkowych dwóch zmiennych. Równania reakcji-dyfuzji.

W ramach laboratorium: poznanie pakietów typu Matlab i Mathematica w celu rozwiązywania numerycznego i graficznej prezentacji rozwiązań równań różniczkowych i różnicowych.

D. Wrzosek: Matematyka dla biologów, 2010

U.Foryś: Modelowanie matematyczne w biologii i medycynie, Uniwersytet

Warszawski, Warszawa 2011:

http://mst.mimuw.edu.pl/lecture.php?lecture=mbm

U. Foryś: Matematyka w biologii, WNT, Warszawa 2005

J.D. Murray: Wprowadzenie do biomatematyki, PWN, Warszawa 2006

A. Palczewski: Równania różniczkowe zwyczajne, WNT, Warszawa 2004

Student uzyskujący zaliczenie przedmiotu:

1) ma wiedzę na temat podstawowych metod badania układów dynamicznych z czasem ciągłym i dyskretnym (K_W07),

2) zna wybrane modele matematyczne opisujące różne zagadnienia przyrodnicze (K_W08),

3) potrafi stosować wybrane pakiety matematyczne (Maple, Matlab) do rozwiązywania numerycznego równań różniczkowych i graficznej prezentacji ich rozwiązań (K_U08x).

4) umie zastosować metody matematyczne do opisu zjawisk przyrodniczych, potrafi wyciągać wnioski płynące z konkretnych modeli i zdaje sobie sprawę z ograniczoności stosowanych metod.

OCENA KOŃCOWA BĘDZIE WYSTAWIONA NA PODSTAWIE:

- punktów z ćwiczeń — 70 pkt.: krótkie kartkówki 40 pkt., aktywność na ćwiczeniach 30 pkt.;

- punktów z laboratorium (krótkie zadania rozwiązywane w trakcie zajęć) — 30 pkt.;

- egzaminu pisemnego z równań różniczkowych zwyczajnych i równań różnicowych (umiejętność rozwiązywania równań liniowych, rozwiązywanie równań różniczkowych wybranych typów, analiza równań różniczkowych i różnicowych) — 100 pkt.

Pozytywną ocenę końcową otrzymają osoby, które sumarycznie uzyskają ponad 100 punktów.

Egzamin zerowy będą mogły zdawać osoby, które uzyskają minimum 80 punktów za zajęcia (ćwiczenia + laboratorium).

Egzamin poprawkowy: ocena będzie wystawiona tylko na podstawie egzaminu.