Matematyka finansowa dla aktuariuszy

nieobowiązkowe

Zebranie podstawowych informacji z matematyki finansowej i modeli wyceny w czasie dyskretnym, ze szczególnym uwzględnieniem zastosowań do wyceny zobowiązań finansowo-ubezpieczeniowych. Omówione zostaną: podstawy teorii oprocentowania, renty i spłata kredytu, obligacje, instrumenty pochodne (forward, futures, swapy, opcje), wycena opcji z użyciem drzew dwumianowych oraz model finansowo-ubezpieczeniowy jako przykład rynku niezupełnego.

Przedmiot może stanowić pomoc w przygotowaniu studenta do państwowych egzaminów aktuarialnych.

1. Podstawy teorii oprocentowania (4 godz.)

Procent, stopa procentowa, kapitalizacja. Oprocentowanie proste. Zasada oprocentowania składanego. Kapitalizacja roczna, podokresowa, ciągła. Stopa efektywna. Dyskontowanie. Model wartości kapitału w czasie. Zasada równoważności kapitałów.

2. Renty (2 godz.)

Podstawowe pojęcia rachunku rent. Renta o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona. Renta wieczysta.

3. Ratalna spłata długu (2 godz.)

Zasada równoważności długu i rat. Schemat spłaty długu. Rata annuitetowa. Rata o stałej części kapitałowej. Niestandardowe schematy spłaty długu. Spłata długu poprzez fundusz umorzeniowy.

4. Wycena obligacji (2 godz.)

Wyznaczenie wartości obligacji kuponowych i zero-kuponowych przy stałej stopie. Struktura terminowa stóp procentowych. Stopy zwrotu (yield), spot i swap.

5. Kontrakty terminowe forward i futures (2 godz.)

Kontrakt forward na akcję. Kontrakt forward walutowy. Kontrakty futures.

6. Kontrakty swap (2 godz.)

Swap stopy procentowej. Swap walutowy. Credit default swap.

7. Wprowadzenie do zarządzania aktywami i pasywami (4 godz.)

Replikacja przepływów pieniężnych z wykorzystaniem obligacji. Średni czas trwania (duration). Modified duration. Convexity i modified convexity. Immunizacja portfela ze względu na zmiany stopy procentowej. Wykorzystanie w zarządzaniu aktywami i pasywami.

8. Opcje – wprowadzenie (2 godz.)

Charakterystyka opcji. Opcje kupna (call) i opcje sprzedaży (put). Opcje europejskie i amerykańskie. Opcje egzotyczne. Parytet kupna i sprzedaży. Arbitraż

9. Wycena instrumentów zgodnie z zasadą braku arbitrażu (2 godz.)

Podstawowe pojęcia: braku arbitrażu, strategii replikującej, miary martyngałowej, rynku zupełnego i niezupełnego, fundamentalne twierdzenia wyceny.

10. Wycena opcji za pomocą drzew dwumianowych w modelach jedno i wielookresowych (4 godz.)

Aktywo ryzykowne i aktywo wolne od ryzyka. Prawdopodobieństwa martyngałowe. Model drzewa dwumianowego. Strategia replikująca.

11. Rynek niezupełny (4 godz.)

Model rynku niezupełnego. Strategie zabezpieczające. Prawdopodobieństwa martyngałowe. Drzewa trójmianowe. Model finansowo-ubezpieczeniowy jako przykład rynku niezupełnego. Wycena i zabezpieczenie produktu ubezpieczeniowego z funduszem inwestycyjnym.

1. Podgórska M., Klimkowska J., Matematyka finansowa, Wydawnictwa Naukowe PWN, 2005

2. Boudreault M., Renaud J.F., Actuarial Finance: Derivatives, Quantitative Models and Risk Management, Wiley, 2019

3. Musiela M., Rutkowski M., Martingale Methods in Financial Modelling, Springer, 2005

4. Palczewski A., Jakubowski J., Stettner Ł., Rutkowski M., Matematyka finansowa, Wydawnictwa Naukowe PWN, 2018

Wiedza:

Po zrealizowaniu programu przedmiotu student:

• rozumie koncepcję wartości pieniądza w czasie,

• rozumie mechanizm spłaty kredytu,

• rozumie działanie instrumentów finansowych (obligacji, forward, futures, swapów),

• wie w jaki sposób można zabezpieczać portfel przed ryzykiem stopy procentowej,

• zna podstawowe charakterystyki opcji,

• rozumie model rynku niezupełnego.

Umiejętności:

Po zrealizowaniu programu przedmiotu student:

• potrafi liczyć wartość bieżącą przepływów pieniężnych,

• umie policzyć raty kredytu przy zadanych założeniach,

• potrafi wycenić obligacje, kontrakty forward, swapy,

• umie tworzyć strategie immunizacyjne z wykorzystaniem duration i convexity,

• umie budować strategie replikujące dla opcji,

• potrafi wycenić opcje za pomocą drzew dwumianowych.

Kompetencje społeczne:

Po zrealizowaniu programu przedmiotu student:

• wykazuje potrzebę ciągłego poszerzania i pogłębiania zdobytej wiedzy w zakresie matematyki finansowej, stara się posiadaną już wiedzę i umiejętności konsekwentnie uzupełniać i doskonalić,

• potrafi współdziałać w grupie, uzgadniać z grupą cele i podział zadań, potrafi odpowiednio określić priorytety służące wyborowi odpowiednich metod i modeli analizy.

Egzamin i prace domowe