Analiza matematyczna I.1 1000-111bAM1a
Wykład (WYK) Semestr zimowy 2020/21

1. A. Birkholc, Analiza matematyczna dla nauczycieli. PWN, Warszawa 1977.

2. B. P. Demidowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Naukowa Książka, Lublin 1992 (t. I) i 1993 (t. II i III).

3. G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy. Tom 1-2, PWN, Warszawa 2007.

4. W. Kaczor, M. Nowak, Zadania z Analizy Matematycznej 1. Liczby rzeczywiste, ciągi i szeregi liczbowe, PWN,

Warszawa 2005.

5. K. Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa 1979.

6. W. Pusz, A. Strasburger, Zbiór zadań z analizy matematycznej Wydział Fizyki UW, Warszawa 1982.

7. W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa 2000.

8. P. Strzelecki, Analiza Matematyczna I (skrypt wykładu),

http://dydmat.mimuw.edu.pl/sites/default/files/wyklady/analiza-matematyczna-i.pdf

Dodatek do skryptu (aut. M. Jóźwikowski, S. Kolasiński),

http://dydmat.mimuw.edu.pl/sites/default/files/wyklady/analiza-matematyczna-i-zadania.pdf

Student:

1. Podaje przykłady liczb niewymiernych i zna dowody ich niewymierności. Potrafi wyznaczać kresy podzbiorów ciała liczb rzeczywistych. Posługuje się metodą indukcji zupełnej.

2. Zna pojęcie granicy ciągu liczb rzeczywistych i zespolonych, zna jego arytmetyczne własności, a także twierdzenie Bolzano-Weierstrassa i warunek Cauchy'ego. Rozpoznaje i określa najważniejsze własności ciągów liczb rzeczywistych danych wzorem jawnym lub rekurencyjnym: monotoniczność, ograniczoność, zbieżność całego ciągu lub jego podciągów.

3. Potrafi wskazać metodę definiowania funkcji wykładniczej oraz funkcji trygonometrycznych na zbiorze liczb rzeczywistych; zna podstawowe własności tych funkcji.

4. Zna pojęcie sumy szeregu zbieżnego oraz najważniejsze własności szeregów zbieżnych bezwzględnie i warunkowo. Bada zbieżność szeregów, posługując się kilkoma kryteriami zbieżności; potrafi odróżnić zbieżność bezwzględną od warunkowej.

5. Zna pojęcie granicy funkcji zmiennej rzeczywistej i jego równoważne definicje. Potrafi analizować istnienie granicy funkcji elementarnej zmiennej rzeczywistej i obliczyć tę granicę.

6. Zna podstawowe własności funkcji ciągłych zmiennej rzeczywistej, w tym własność Darboux, twierdzenie Weierstrassa o osiąganiu kresów i twierdzenie o jednostajnej ciągłości na przedziałach domkniętych. Potrafi analizować

ciągłość i jednostajną ciągłość funkcji określonych na różnych przedziałach osi rzeczywistej. Wykorzystuje własności funkcji ciągłych w zadaniach o charakterze jakościowym, m.in. własność Darboux w dowodach istnienia rozwiązań konkretnych równań.

7. Zna pojęcie funkcji wypukłej, nierówność Jensena i najważniejsze przykłady jej zastosowań, w tym do dowodów nierówności.

8. Zna definicję pochodnej oraz geometryczne i fizyczne interpretacje tego pojęcia.

W semestrze zimowym przewidziane są dwa kolokwia. Pierwsze odbędzie się w systemie zdalnym i będzie zorganizowane w grupach ćwiczeniowych w terminie od 19 do 30 listopada 2020 roku. Drugie kolokwium odbędzie się pod koniec semestru lub w czasie sesji i będzie stacjonarne (w budynku wydziału MIM UW), o ile nie będzie przeciwwskazań.

Ocena z przedmiotu będzie wystawiona na podstawie sumy punktów przyznawanych za:

a.) kolokwium nr 1 (60 pt),

b.) kolokwium nr 2 (90 pt),

c.) praca na ćwiczeniach (50 pt).

Łączna możliwa do osiągnięcia liczba punktów to 200. Próg zaliczenia zostanie ustalony po zakończeniu semestru, przy czym uzyskanie połowy punktów (100 pt) gwarantuje zaliczenie przedmiotu.

1. Liczby rzeczywiste, kresy zbiorów, aksjomat ciągłości (pewnik Dedekinda). Liczby naturalne, całkowite, wymierne i niewymierne, zasada indukcji zupełnej i przykłady jej zastosowań.

2. Granica ciągu (w tym granice nieskończone), warunek Cauchy'ego, istnienie granic ciągów monotonicznych. Istnienie pierwiastków. Podstawowe granice (w tym liczba e). Twierdzenie Cesaro-Stolza. Podciągi, Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa o ciągu ograniczonym.

3. Szeregi liczbowe o wyrazach rzeczywistych i zespolonych, pojęcie szeregu zbieżnego. Szereg geometryczny i rozwijanie liczb rzeczywistych przy różnych podstawach. Warunek Cauchy'ego dla szeregów. Szeregi o wyrazach dodatnich, kryterium porównawcze, kryterium Cauchy'ego o zagęszczaniu, kryterium ilorazowe d'Alemberta, kryterium pierwiastkowe Cauchy'ego. Szeregi o wyrazach dowolnych - zależność sumy szeregu od kolejności wyrazów. Szeregi naprzemienne - kryterium Leibniza. Szeregi bezwzględnie zbieżne. Kryteria Abela i Dirichleta. Twierdzenia o

zbieżności iloczynu Cauchy'ego dwóch szeregów. Niewymierność liczby e.

4. Granica funkcji w punkcie, ciągłość funkcji (warunki Heinego i Cauchy'ego), własność Darboux. Ciągłość funkcji odwrotnej. Twierdzenie Weierstrassa o przyjmowaniu kresów. Jednostajna ciągłość funkcji ciągłej na przedziale domkniętym. Funkcja wykładnicza i funkcja logarytmiczna, funkcje trygonometryczne i cyklometryczne.

5. Funkcje wypukłe, interpretacja geometryczna. Nierówność Jensena i wynikające z niej klasyczne nierówności (Cauchy'ego o średnich, Schwarza). Pochodna i jej interpretacje, styczna do wykresu funkcji. Charakteryzacja wypukłości funkcji w terminach ilorazów różnicowych i pierwszej pochodnej.

Nauczanie zdalne