Algebra I (potok *)

obowiązkowe

Oczekuje się dobrej znajomości zagadnień ujętych w sylabusach przedmiotów Geometria z algebrą liniową I oraz Wstęp do matematyki.

To jest rozszerzona wersja wykładu Algebra 1; wzbogacona o dodatkowy materiał dotyczący teorii grup i teorii pierścieni.

Podstawowe struktury algebraiczne: grupy, pierścienie przemienne z 1 i ciała. Teoria grup: podgrupy normalne, grupy ilorazowe, działania grup na zbiorach, informacje o klasyfikacji skończenie generowanych grup abelowych i twierdzeniu Sylowa. Teoria pierścieni: podzielność, rozkład na czynniki, pojęcie ideału oraz pierścienia ilorazowego. Teoria ciał: rozszerzanie ciała przez dołączenie pierwiastków wielomianu, informacja o istnieniu algebraicznego domknięcia ciała.

1. Podstawowe definicje i przykłady: grupy, pierścienie, ciała, a także ich podobiekty. Homomorfizmy zdefiniowanych struktur. Przykłady: grupy przekształceń (w tym grupy permutacji, grupy dihedralne, grupy liniowe GL(n;K), O(n), SO(n)). Pierścienie: Z, pierścienie wielomianów jednej i wielu zmiennych, pierścień szeregów formalnych. Ciała Q, R, C, Zp.

2. Podstawy teorii grup: rząd elementu, zbiór generatorów grupy, grupy cykliczne i ich własności. Produkt prosty grup i jego charakteryzacja wewnętrzna. Twierdzenie o klasyfikacji grup abelowych skończenie generowanych (tylko informacyjnie). Warstwy względem podgrupy. Twierdzenie Lagrange’a i zastosowania.

3. Działanie grupy na zbiorze. Orbity i stabilizatory, ekwiwariantny izomorfizm orbity ze zbiorem warstw. Zastosowania: twierdzenie Cayleya, twierdzenie Cauchy’ego, automorfizmy wewnętrzne i klasy sprzężoności, rozkład permutacji na cykle, nietrywialność centrum p-grupy skończonej. Klasy sprzężoności w grupach permutacji.

4. Jądro homomorfizmu, dzielnik normalny i grupa ilorazowa. Twierdzenie o izomorfizmie. Komutant i abelianizacja grupy. Grupy proste, grupy permutacji parzystych.

5. Twierdzenie Sylowa (tylko sformułowanie i proste przykłady).

6. Pierścienie przemienne. Własności elementów pierścienia (elementy odwracalne, dzielniki zera, elementy nilpotentne). Ciało ułamków dziedziny całkowitości. Jądro homomorfizmu, ideał, pierścień ilorazowy, twierdzenie o izomorfizmie. Ideały pierwsze i maksymalne. Przykłady.

7. Ideały w pierścieniu liczb całkowitych i w pierścieniu wielomianów nad ciałem. Twierdzenie Bezout. Funkcje wielomianowe. Pierścienie ideałów głównych i ich przykłady, dziedziny euklidesowe.

8. Elementy nierozkładalne, elementy pierwsze. Dziedziny z jednoznacznością rozkładu. Przykłady. Jednoznaczność rozkładu w dziedzinach ideałów głównych. Jednoznaczność rozkładu w pierścieniu wielomianów - twierdzenie Gaussa (tylko informacyjnie), kryterium Eisensteina.

9. Rozszerzenie ciała o pierwiastek wielomianu. Podciała proste. Przykłady konstrukcji ciał skończonych. Elementy algebraiczne. Algebraiczne domknięcie ciała (tylko informacyjnie).

1. Cz. Bagiński, Wstęp do teorii grup, Script, Warszawa 2002.

2. A. Białynicki-Birula, Zarys algebry, Bibl. Mat. 63, PWN, Warszawa 1987

3. A. Bojanowska, P. Traczyk, skrypt Algebra 1, http://dydmat.mimuw.edu.pl/algebra-i

4. J. Browkin, Teoria ciał, Bibl. Mat. 49, PWN, Warszawa 1977

5. M. Bryński, J. Jurkiewicz, Zbiór zadań z algebry, PWN, Warszawa 1981.

6. M. Kargapolov, J. Merzljakov, Podstawy teorii grup, PWN, Warszawa 1976.

7. J. Rutkowski Algebra abstrakcyjna w zadaniach, PWN, Warszawa 2002.

8. K. Szymiczek, Zbiór zadań z teorii grup, PWN, Warszawa 1989.

1. Zna pojęcia grupy, pierścienia i ciała oraz pojęcie homomorfizmu tych struktur. Potrafi podawać i rozróżniać różne przykłady tych struktur.

2. Zna podstawowe konstrukcje grup, twierdzenie Lagrange'a i jego dowód. Potrafi opisać elementy w grupie generowanej przez zbiór, udowodnić twierdzenie strukturalne dla grup cyklicznych oraz wie jak brzmi twierdzenie strukturalne opisujące skończenie generowane grupy abelowe.

3. Zna pojęcie działania grupy na zbiorze oraz pojęcia orbity i stabilizatora oraz związki między nimi. Zna zastosowania działań grup na zbiorach, w szczególności: twierdzenie Cayleya, nietrywialność centrum p-grup i twierdzenie Cauchy'ego. Zna sformułowanie twierdzenia Sylowa.

4. Zna pojęcie podgrupy normalnej i grupy ilorazowej. Potrafi opisywać podgrupy normalne w różnych przykładach grup. Zna i potrafi stosować twierdzenie o izomorfizmie. Zna pojęcie komutanta oraz abelianizacji grup.

5. Zna pojęcia różnych typów elementów pierścieni przemiennych (dzielniki zera, nilpotenty, elementy odwracalne) i potrafi je opisywać w wybranych przykładach pierścieni. Zna pojęcie ideału. Potrafi opisywać elementy ideałów generowanych przez zbiory. Zna pojęcia ideałów pierwszych i maksymalnych, zależności między nimi oraz ich charakteryzacje w języku pierścieni ilorazowych.

6. Zna pojęcie dziedziny ideałów głównych. Umie opisać ideały w pierścieniu liczb całkowitych i pierścieniu wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach w ciele. Zna pojęcie dziedziny euklidesowej i potrafi udowodnić, że dziedziny euklidesowe są dziedzinami ideałów głównych. Zna przykłady dziedzin euklidesowych, w tym pierścień liczb całkowitych Gaussa.

7. Zna pojęcia elementu nierozkładalnego i pierwszego dziedziny, zależności między tymi pojęciami oraz pojęcie dziedziny z jednoznacznością rozkładu. Potrafi podać przykłady dziedzin bez jednoznaczności rozkładu i ważne klasy dziedzin z jednoznacznością rozkładu.

8. Zna pojęcie elementu algebraicznego i potrafi skonstruować rozszerzenie ciała o pierwiastek wielomianu o współczynnikach w tym ciele. Zna pojęcie algebraicznego domknięcia ciała. Potrafi określić i uzasadnić jakie liczebności mają ciała skończone.

9. Potrafi wskazać teorioliczbowe zastosowania pojęć i twierdzeń z wykładu.