Analiza matematyczna II.2 (potok 1)

fizyka
matematyka

obowiązkowe

Oczekuje się dobrej znajomości zagadnień ujętych w sylabusie przedmiotu Analiza matematyczna II.1.

Przedmiot jest kontynuacją Analizy matematycznej II.1, obejmuje dalszy ciąg teorii całki Lebesgue'a, funkcje całkowalne w sensie Lebesgue'a oraz rachunek różniczkowy i całkowy na podrozmaitościach R^n.

1. Techniki całkowania funkcji wielu zmiennych (twierdzenie Fubiniego, twierdzenie o zamianie zmiennych - powtórzenie). Zasada Cavalierego.

2. Przestrzeń L^1 funkcji całkowalnych i jej zupełność, twierdzenie Riesza o zbieżności podciągu prawie wszędzie. Splot, L^1 jako algebra splotowa. Informacja o przestrzeniach L^p. Jedynka aproksymatywna, aproksymacja funkcji całkowalnych funkcjami gładkimi.

3. Miara powierzchniowa na rozmaitościach zanurzonych w przestrzeni R^n, wzory Cauchy'ego-Bineta. Przykład Schwarza. Miara sfery wielowymiarowej.

4. Formy różniczkowe rzędu 1 i twierdzenie Greena. Formy różniczkowe wyższych rzędów, różniczka zewnętrzna i przeciąganie form, formy zamknięte i dokładne. Formy różniczkowe w R^3, rotacja i dywergencja pola wektorowego.

5. Orientacja rozmaitości i orientacja dziedziczona na brzegu. Całka z formy różniczkowej po rozmaitości zanurzonej. Twierdzenie Stokesa i jego klasyczne przypadki (wzory Gaussa i Greena-Ostrogradskiego).

1. A. Birkholc, Analiza matematyczna: Funkcje wielu zmiennych. Wydanie II, PWN, Warszawa 2018.

2. G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy. Tom 1-3, PWN, Warszawa 2007.

3. W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 2009.

4. W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa 2009.

5. W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, PWN, Warszawa 2009.

6. L. Schwartz, Kurs analizy matematycznej. Tom 1-2, PWN, Warszawa 1979.

7. M. Spivak, Analiza na rozmaitościach, PWN, Warszawa 2006.

8. P. Strzelecki, Analiza matematyczna II (skrypt wykładu),

http://dydmat.mimuw.edu.pl/sites/default/files/wyklady/analiza-matamatyczna-ii.pdf

1. Potrafi obliczać całki funkcji dwóch i trzech zmiennych, stosując twierdzenia o zamianie kolejności całkowania i o całkowaniu przez podstawienie.

2. Zna definicję miary powierzchniowej na rozmaitości gładkiej i własności tej miary. Potrafi obliczać pole powierzchni wykresu funkcji dwóch zmiennych oraz powierzchni opisanej parametrycznie.

3. Zna pojęcie formy różniczkowej i potrafi wykonywać rachunki na formach różniczkowych. Zna twierdzenie Stokesa i jego szczególe przypadki: twierdzenie Greena, twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego o dywergencji oraz przykłady ich zastosowań. Potrafi obliczać całki z form różniczkowych po podrozmaitościach R^n. Stosuje wzory Greena i Gaussa- Ostrogradskiego w różnych zadaniach.

Na podstawie punktów uzyskiwanych w czasie semestru oraz egzaminu.