Geometria różniczkowa

fizyka
informatyka
matematyka

fakultatywne

Algebra liniowa i analiza matematyczna wielu zmiennych. Podstawy topologii. Geometria różniczkowa krzywych i powierzchni w R^3.

w sali

Abstrakcyjne rozmaitości gładkie, przekształcenia gładkie. Wektory styczne i pochodna przekształcenia gładkiego. Pola wektorowe jako różniczkowania i potoki. Nawias Lie. Wiązka styczna. Wiązki wektorowe i operacje na nich. Pola tensorowe. Foliacje i twierdzenie Frobeniusa. Formy rózniczkowe, pochodna zwnętrzna i twierdzenie Stokesa. Koneksje afiniczne, metryki Riemanna, geodezyjne,krzywizna, tensor krzywizny i tensor Ricci. Rozmaitości geodezyjnie zupełne. Rozmaitości stałej krzywizny (space form problem). Grupy i algebry Liego.

1. Abstrakcyjne rozmaitości gładkie (także z brzegiem), podrozmaitości. Przekształcenia gładkie i dyfeomorfizmy. Konstrukcje rozmaitości .

2. Pierścień funkcji gładkich. Gładki rozkład jedności.

3. Wektory styczne: interpretacje geometryczna, fizyczna i algebraiczna.. Pochodna przekształcenia gładkiego. Submersje, immersje i zanurzenia rozmaitości.

4. Wiązka styczna; pola wektorowe ich interpretacje (potoki, różniczkowania). Algebra Lie pól wektorowych.

5. Wiązki wektorowe i przeniesienie na nie operacji algebry liniowej. Przykłady struktur na wiązce stycznej (orientacja, zespolona, metryka Riemanna, symplektyczna)

6. Pola tensorowe. Formy różniczkowe. Różniczka zewnętrzna, całkowanie form i twierdzenie Stokes. Kohomologie de Rhama.

7. Dystrybucje, foliacje i struktury kontaktowe na rozmaitościach. Twierdzenie Frobeniusa.

8. Różniczkowanie pól wektorowych. Koneksja afiniczna. Przeniesienie równoległe. Geodezyjne.

9. Rozmaitości riemannowskie i koneksja wyznaczona przez metrykę Riemanna.

10. Tensor krzywizny. Krzywizna sekcyjna i skalarna.

11. Rozmaitości geodezyjnie zupełne. Twierdzenie Hopfa - Rinowa.

12. Rozmaitości o stałej krzywiźnie (Space Form Problem).

13. Algebry i grupy Liego. Algebra pól lewo-niezmienniczych, podgrupy jednoparametrowe i odwzorowanie exp. Odpowiedniość miedzy grupami i algebrami. (informacyjnie)

Aubin, T. A Course in Differential Geometry. AMS, Graduate Studies in Mathematics, vol. 27, 2001.

Baer, Ch. "Differential Geometry" https://www.math.uni-potsdam.de/fileadmin/user_upload/Prof-Geometrie/Dokumente/Lehre/Lehrmaterialien/skript-DiffGeo-engl.pdf

Białynicki-Birula, A. "Geometria różniczkowa II. " Skrypt wykładów. http://www.mimuw.edu.pl/~bbirula/matdyd/g_roz99_00/wyk1.pdf

Grabowska, K. "Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa" Wydział Fizyki UW, 2019. https://www.fuw.edu.pl/~konieczn/geometria/geometry_lecture_2_0.pdf

Kijowski, J. "Geometria różniczkowa jako narzędzie nauk przyrodniczych" CSZ Politechnika Warszawska. http://old.cft.edu.pl/~kijowski/Dydaktyczne/GEOMETR.pdf

Lee, J.M. "Manifolds and Differential Geometry." AMS Graduate Studies in Mathematics Volume: 107; 2009

Spivak,M. "A Comprehensive Introduction to Differential Geometry. Volumes I-V", Publish or Perish, 1999.

Sternberg, S.. Lectures on Differential Geometry. Prentice–Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1964.

Student rozumie:

- pojęcie abstrakcyjnej rozmaitości, wektorów stycznych do niej i ich różne interpretacje, konstrukcję pochodnej odwzorowania gładkiego. Rolę algebry funkcji gładkich.

- różne interpretacje pół wektorowych i ich nawiasu Lie

- pojęcie wiązki wektorowej i przeniesienia na wiązki wektorowe konstrukcji znanych z algebry liniowej. Struktury na wiązkach (orientacja, metryka, symplektyczna etc.)

- dlaczego na rozmaitości całkuje się formy różniczkowe. Geometryczny sens tw. Stokesa.

- pojęcie pochodnej kowariantnej i przeniesienia równoległego (koneksji) jako dodatkowej struktury na rozmaitości

- jak metryka Riemanna wyznacza zgodną z nią konkeksję.

Student zna przykłady:

- abstrakcyjnych rozmaitości: przestrzeni rzutowych, powierzchni, rozmaitości konstruowanych jako przestrzenie orbit działań grup. Grupy Lie.

- rozmaitości stałej krzywizny; w szczególności geometrie hiperboliczne;

- przeniesienia równoległego i geodezyjnych na konkretnych rozmaitościach.

Student potrafi przedstawić argumenty geometryczne na rysunkach i sformułowac na piśmie rozumowania matematyczne.

Ocena końcowa na podstawie przedstawionego eseju i dwuczęściowego egzaminu pisemnego składającego się z testu oraz zadań.

4EU+KURSY