Metody algebraiczne geometrii i topologii
Informacje ogólne
Kod przedmiotu: | 1000-135MGT |
Kod Erasmus / ISCED: |
11.1
|
Nazwa przedmiotu: | Metody algebraiczne geometrii i topologii |
Jednostka: | Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki |
Grupy: |
Przedmioty fakultatywne dla studiów 2 stopnia na matematyce Przedmioty obieralne na studiach drugiego stopnia na kierunku bioinformatyka |
Punkty ECTS i inne: |
6.00
|
Język prowadzenia: | angielski |
Rodzaj przedmiotu: | fakultatywne |
Skrócony opis: |
Podstawowe pojecia teorii kategorii, kategorie addytywne i abelowe; Iloczyn tensorowy w kategorii modułów. Moduły projektywne, injektywne i rezolwenty. Grupy z gradacja; kompleksy łancuchowe i ich homologie. Funktory pochodne Hom i produktu tensorowego. Presnopy, snopy i ich kohomologie. Kohomologie symplicjalne i kohomologie Cecha. Nakrycia i wiazki główne; interpretacja kohomologiczna. W przypadku udziału słuchaczy obcojezycznych wykład jest prowadzony po angielsku. |
Pełny opis: |
1. Podstawowe pojecia teorii kategorii: kategoria, funktor, transformacje naturalne, funktory dołaczone,lemat Yonedy, granice proste i odwrotne diagramów. Kategorie addytywne i abelowe. Przykłady z teorii grup i topologii. Grupoidy. Presnopy i zbiory symplicjalne jako przykłady funktorów. 2. Kategoria modułów nad pierscieniem jako przykład kategorii abelowej. Pierscien grupowy. Iloczyn tensorowy modułów (takze w przypadku nieprzemiennym). Moduły wolne, projektywne i injektywne, rezolwenty. Uogólnienie na kategorie abelowe. 3. Grupy z gradacja, filtracja i rózniczka. Kompleksy łancuchowe i ich homologie. Homotopia łancuchowa. Funktory pochodne funktorów okreslonych na kategorii abelowej. 4. Funktory pochodne Hom i iloczynu tensorowego oraz granicy odwrotnej. Interpretacja w terminach rozszerzen. Twierdzenie o współczynnikach uniwersalnych i tw. Kunnetha. 5. Kompleksy symplicjalne i ich homologie. Nerw pokrycia. Kohomologie Cecha pokrycia. Presnopy miekkie i rozkład jednosci wpisany w pokrycie. Kohomologie Cecha przestrzeni topologicznej. 6. Presnopy i snopy. Przestrzen snopa. Obraz prosty i odwrotny snopa. Kohomologie snopa jako funktor pochodny funktora przekrojów globalnych. Porównanie z kohomolgiami Cecha. 7. Wiazki lokalnie trywialne, wektorowe, główne i przestrzenie nakrywajace. Projektywnosc modułu przekrojów wiazki wektorowej. Grupa podstawowa. Klasykacja wiazek w terminach kohomologicznych (kocykle). Pierwsza klasa Stiefela-Whitney (odp. klasa Cherna) wiazek liniowych rzeczywistych (odp. zespolonych). |
Literatura: |
1. Bredon, G. Sheaf Theory. GTM 170. Springer. 2. Bredon, G. Topology and Geometry, Graduate Texts in Mathematics 139, Springer Verlag, New York 1993. 3. Hatcher, A. Algebraic Topology. Cambridge University Press, Cambridge 2002. 4. Fulton, W. Algebraic Topology. A First Course. GTM 153. Springer 5. Gelfand, S.I., Manin, Yu.I. Methods of Homological Algebra. Springer Monographs in Mathematics 2002 6. Husemoller, D. Fibre bundles. Third Edition. GTM 20. Springer. 7. S. Mac Lane, Homology Grundlehren 114, Springer 1963 8. Spanier, E. Algebraic Topology McGraw-Hill 9. Weibel, Ch Homological Algebra |
Efekty uczenia się: |
Absolwent przedmiotu powinien: • umieć sformułować pojęcia i twierdzenia wchodzące do programu oraz wyjaśnić je na podstawie przykładów i podać wybrane dowody; • dostrzegać kategoryjną naturę obiektów matematycznych, z którymi zapoznaje się na innych przedmiotach; • zilustrować związki teorii snopów oraz wiązek głównych z zagadnieniami omawianymi w ramach innych przedmiotów. |
Metody i kryteria oceniania: |
Przedmiot będzie zaliczany na podstawie wyników z ćwiczeń oraz egzaminu końcowego. Szczegółowe zasady zaliczenia przedmiotu są podane w informacjach dotyczących zajęć w odpowiednim roku akademickim. |
Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2023/24" (zakończony)
Okres: | 2023-10-01 - 2024-01-28 |
Przejdź do planu
PN WT ŚR WYK
CW
CZ PT |
Typ zajęć: |
Ćwiczenia, 30 godzin
Wykład, 30 godzin
|
|
Koordynatorzy: | Adrian Langer | |
Prowadzący grup: | Adrian Langer | |
Lista studentów: | (nie masz dostępu) | |
Zaliczenie: | Egzamin | |
Skrócony opis: |
Podstawowe pojecia teorii kategorii, kategorie addytywne i abelowe; Iloczyn tensorowy w kategorii modułów. Moduły projektywne, injektywne i rezolwenty. Grupy z gradacja; kompleksy łancuchowe i ich homologie. Funktory pochodne Hom i produktu tensorowego. Presnopy, snopy i ich kohomologie. Kohomologie symplicjalne i kohomologie Cecha. Nakrycia i wiazki główne; interpretacja kohomologiczna. W przypadku udziału słuchaczy obcojezycznych wykład jest prowadzony po angielsku. |
|
Literatura: |
1. Bredon, G. Sheaf Theory. GTM 170. Springer. 2. Bredon, G. Topology and Geometry, Graduate Texts in Mathematics 139, Springer Verlag, New York 1993. 3. Hatcher, A. Algebraic Topology. Cambridge University Press, Cambridge 2002. 4. Fulton, W. Algebraic Topology. A First Course. GTM 153. Springer 5. Gelfand, S.I., Manin, Yu.I. Methods of Homological Algebra. Springer Monographs in Mathematics 2002 6. Husemoller, D. Fibre bundles. Third Edition. GTM 20. Springer. 7. S. Mac Lane, Homology Grundlehren 114, Springer 1963 8. Spanier, E. Algebraic Topology McGraw-Hill 9. Weibel, Ch Homological Algebra |
Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2024/25" (zakończony)
Okres: | 2024-10-01 - 2025-01-26 |
Przejdź do planu
PN WT ŚR WYK
CW
CZ PT |
Typ zajęć: |
Ćwiczenia, 30 godzin
Wykład, 30 godzin
|
|
Koordynatorzy: | Joachim Jelisiejew | |
Prowadzący grup: | Joachim Jelisiejew, Bruno Stonek | |
Strona przedmiotu: | https://www.mimuw.edu.pl/~jjelisiejew/uw/202425-MAGiT/index.html | |
Lista studentów: | (nie masz dostępu) | |
Zaliczenie: | Egzamin | |
Skrócony opis: |
Podstawowe pojecia teorii kategorii, kategorie addytywne i abelowe; Iloczyn tensorowy w kategorii modułów. Moduły projektywne, injektywne i rezolwenty. Grupy z gradacja; kompleksy łancuchowe i ich homologie. Funktory pochodne Hom i produktu tensorowego. Presnopy, snopy i ich kohomologie. Kohomologie symplicjalne i kohomologie Cecha. Nakrycia i wiazki główne; interpretacja kohomologiczna. W przypadku udziału słuchaczy obcojezycznych wykład jest prowadzony po angielsku. |
|
Literatura: |
1. Bredon, G. Sheaf Theory. GTM 170. Springer. 2. Bredon, G. Topology and Geometry, Graduate Texts in Mathematics 139, Springer Verlag, New York 1993. 3. Hatcher, A. Algebraic Topology. Cambridge University Press, Cambridge 2002. 4. Fulton, W. Algebraic Topology. A First Course. GTM 153. Springer 5. Gelfand, S.I., Manin, Yu.I. Methods of Homological Algebra. Springer Monographs in Mathematics 2002 6. Husemoller, D. Fibre bundles. Third Edition. GTM 20. Springer. 7. S. Mac Lane, Homology Grundlehren 114, Springer 1963 8. Spanier, E. Algebraic Topology McGraw-Hill 9. Weibel, Ch Homological Algebra |
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.