Uniwersytet Warszawski - Centralny System Uwierzytelniania
Strona główna

Metody algebraiczne geometrii i topologii

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-135MGT
Kod Erasmus / ISCED: 11.1 Kod klasyfikacyjny przedmiotu składa się z trzech do pięciu cyfr, przy czym trzy pierwsze oznaczają klasyfikację dziedziny wg. Listy kodów dziedzin obowiązującej w programie Socrates/Erasmus, czwarta (dotąd na ogół 0) – ewentualne uszczegółowienie informacji o dyscyplinie, piąta – stopień zaawansowania przedmiotu ustalony na podstawie roku studiów, dla którego przedmiot jest przeznaczony. / (0541) Matematyka Kod ISCED - Międzynarodowa Standardowa Klasyfikacja Kształcenia (International Standard Classification of Education) została opracowana przez UNESCO.
Nazwa przedmiotu: Metody algebraiczne geometrii i topologii
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty fakultatywne dla studiów 2 stopnia na matematyce
Przedmioty obieralne na studiach drugiego stopnia na kierunku bioinformatyka
Punkty ECTS i inne: 6.00 Podstawowe informacje o zasadach przyporządkowania punktów ECTS:
  • roczny wymiar godzinowy nakładu pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się dla danego etapu studiów wynosi 1500-1800 h, co odpowiada 60 ECTS;
  • tygodniowy wymiar godzinowy nakładu pracy studenta wynosi 45 h;
  • 1 punkt ECTS odpowiada 25-30 godzinom pracy studenta potrzebnej do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się;
  • tygodniowy nakład pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się pozwala uzyskać 1,5 ECTS;
  • nakład pracy potrzebny do zaliczenia przedmiotu, któremu przypisano 3 ECTS, stanowi 10% semestralnego obciążenia studenta.

zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: angielski
Rodzaj przedmiotu:

fakultatywne

Skrócony opis:

Podstawowe pojecia teorii kategorii, kategorie addytywne i abelowe; Iloczyn tensorowy w kategorii modułów. Moduły projektywne, injektywne i rezolwenty. Grupy z gradacja; kompleksy łancuchowe i ich homologie. Funktory pochodne Hom i produktu tensorowego. Presnopy, snopy i ich kohomologie.

Kohomologie symplicjalne i kohomologie Cecha. Nakrycia i wiazki główne; interpretacja kohomologiczna. W przypadku udziału słuchaczy obcojezycznych wykład jest prowadzony po angielsku.

Pełny opis:

1. Podstawowe pojecia teorii kategorii: kategoria, funktor, transformacje naturalne, funktory dołaczone,lemat Yonedy, granice proste i odwrotne diagramów. Kategorie addytywne i abelowe. Przykłady z teorii grup i topologii. Grupoidy. Presnopy i zbiory symplicjalne jako przykłady funktorów.

2. Kategoria modułów nad pierscieniem jako przykład kategorii abelowej. Pierscien grupowy. Iloczyn tensorowy modułów (takze w przypadku nieprzemiennym). Moduły wolne, projektywne i injektywne, rezolwenty. Uogólnienie na kategorie abelowe.

3. Grupy z gradacja, filtracja i rózniczka. Kompleksy łancuchowe i ich homologie. Homotopia łancuchowa. Funktory pochodne funktorów okreslonych na kategorii abelowej.

4. Funktory pochodne Hom i iloczynu tensorowego oraz granicy odwrotnej. Interpretacja w terminach rozszerzen. Twierdzenie o współczynnikach uniwersalnych i tw. Kunnetha.

5. Kompleksy symplicjalne i ich homologie. Nerw pokrycia. Kohomologie Cecha pokrycia. Presnopy miekkie i rozkład jednosci wpisany w pokrycie. Kohomologie Cecha przestrzeni topologicznej.

6. Presnopy i snopy. Przestrzen snopa. Obraz prosty i odwrotny snopa. Kohomologie snopa jako funktor pochodny funktora przekrojów globalnych. Porównanie z kohomolgiami Cecha.

7. Wiazki lokalnie trywialne, wektorowe, główne i przestrzenie nakrywajace. Projektywnosc modułu przekrojów wiazki wektorowej. Grupa podstawowa. Klasykacja wiazek w terminach kohomologicznych (kocykle). Pierwsza klasa Stiefela-Whitney (odp. klasa Cherna) wiazek liniowych rzeczywistych (odp. zespolonych).

Literatura:

1. Bredon, G. Sheaf Theory. GTM 170. Springer.

2. Bredon, G. Topology and Geometry, Graduate Texts in Mathematics 139, Springer Verlag, New York

1993.

3. Hatcher, A. Algebraic Topology. Cambridge University Press, Cambridge 2002.

4. Fulton, W. Algebraic Topology. A First Course. GTM 153. Springer

5. Gelfand, S.I., Manin, Yu.I. Methods of Homological Algebra. Springer Monographs in Mathematics

2002

6. Husemoller, D. Fibre bundles. Third Edition. GTM 20. Springer.

7. S. Mac Lane, Homology Grundlehren 114, Springer 1963

8. Spanier, E. Algebraic Topology McGraw-Hill

9. Weibel, Ch Homological Algebra

Efekty uczenia się:

Absolwent przedmiotu powinien:

• umieć sformułować pojęcia i twierdzenia wchodzące do programu oraz wyjaśnić je na podstawie przykładów i podać wybrane dowody;

• dostrzegać kategoryjną naturę obiektów matematycznych, z którymi zapoznaje się na innych przedmiotach;

• zilustrować związki teorii snopów oraz wiązek głównych z zagadnieniami omawianymi w ramach innych przedmiotów.

Metody i kryteria oceniania:

Przedmiot będzie zaliczany na podstawie wyników z ćwiczeń oraz egzaminu końcowego. Szczegółowe zasady zaliczenia przedmiotu są podane w informacjach dotyczących zajęć w odpowiednim roku akademickim.

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2023/24" (zakończony)

Okres: 2023-10-01 - 2024-01-28
Wybrany podział planu:
Przejdź do planu
Typ zajęć:
Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Adrian Langer
Prowadzący grup: Adrian Langer
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin
Skrócony opis:

Podstawowe pojecia teorii kategorii, kategorie addytywne i abelowe; Iloczyn tensorowy w kategorii modułów. Moduły projektywne, injektywne i rezolwenty. Grupy z gradacja; kompleksy łancuchowe i ich homologie. Funktory pochodne Hom i produktu tensorowego. Presnopy, snopy i ich kohomologie.

Kohomologie symplicjalne i kohomologie Cecha. Nakrycia i wiazki główne; interpretacja kohomologiczna. W przypadku udziału słuchaczy obcojezycznych wykład jest prowadzony po angielsku.

Literatura:

1. Bredon, G. Sheaf Theory. GTM 170. Springer.

2. Bredon, G. Topology and Geometry, Graduate Texts in Mathematics 139, Springer Verlag, New York

1993.

3. Hatcher, A. Algebraic Topology. Cambridge University Press, Cambridge 2002.

4. Fulton, W. Algebraic Topology. A First Course. GTM 153. Springer

5. Gelfand, S.I., Manin, Yu.I. Methods of Homological Algebra. Springer Monographs in Mathematics

2002

6. Husemoller, D. Fibre bundles. Third Edition. GTM 20. Springer.

7. S. Mac Lane, Homology Grundlehren 114, Springer 1963

8. Spanier, E. Algebraic Topology McGraw-Hill

9. Weibel, Ch Homological Algebra

Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.
ul. Banacha 2
02-097 Warszawa
tel: +48 22 55 44 214 https://www.mimuw.edu.pl/
kontakt deklaracja dostępności USOSweb 7.0.3.0-2b06adb1e (2024-03-27)