Uniwersytet Warszawski - Centralny System Uwierzytelniania
Strona główna

Teoria liczb

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-135TL
Kod Erasmus / ISCED: 11.123 Kod klasyfikacyjny przedmiotu składa się z trzech do pięciu cyfr, przy czym trzy pierwsze oznaczają klasyfikację dziedziny wg. Listy kodów dziedzin obowiązującej w programie Socrates/Erasmus, czwarta (dotąd na ogół 0) – ewentualne uszczegółowienie informacji o dyscyplinie, piąta – stopień zaawansowania przedmiotu ustalony na podstawie roku studiów, dla którego przedmiot jest przeznaczony. / (0541) Matematyka Kod ISCED - Międzynarodowa Standardowa Klasyfikacja Kształcenia (International Standard Classification of Education) została opracowana przez UNESCO.
Nazwa przedmiotu: Teoria liczb
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty fakultatywne dla studiów 2 stopnia na matematyce
Przedmioty obieralne na studiach drugiego stopnia na kierunku bioinformatyka
Punkty ECTS i inne: 6.00 Podstawowe informacje o zasadach przyporządkowania punktów ECTS:
  • roczny wymiar godzinowy nakładu pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się dla danego etapu studiów wynosi 1500-1800 h, co odpowiada 60 ECTS;
  • tygodniowy wymiar godzinowy nakładu pracy studenta wynosi 45 h;
  • 1 punkt ECTS odpowiada 25-30 godzinom pracy studenta potrzebnej do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się;
  • tygodniowy nakład pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się pozwala uzyskać 1,5 ECTS;
  • nakład pracy potrzebny do zaliczenia przedmiotu, któremu przypisano 3 ECTS, stanowi 10% semestralnego obciążenia studenta.

zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: angielski
Rodzaj przedmiotu:

fakultatywne

Skrócony opis:

Podstawowy wykład z teorii liczb. W pewnych miejscach posiłkuje się podstawowymi pojęciami i faktami z algebry abstrakcyjnej. Z drugiej strony motywuje dodatkowo te pojęcia.

Pełny opis:

1. Wprowadzenie liczb naturalnych, podstawy teorii, Aksjomaty Peano,

2. Liczby całkowite Z i ich podstawowe własności (w tym algorytm Euklidesa oraz tak zwane podstawowe twierdzenie arytmetyki),

3. Kongruencje, pierścienie ilorazowe Zm i ich podstawowe własności z zastosowaniami (tw. Wilsona, Eulera, Fermata),

4. Liczby pseudopierwsze, kryterium Millera-Rabina,

5. Zastosowania do kryptografii (podpis elektroniczny),

6. Liniowe równania diofantyczne,

7. Przedstawianie liczb pierwszych w postaci x2+dy2

8. Kwadratowe prawo wzajemności i jego konsekwencje,

9. Klasyczne problemy Teorii liczb: Wielkie twierdzenie Fermata hipoteza

Goldbacha, problem Waringa, dzeta-funkcja i hipoteza Riemanna,

10. Twierdzenie o liczbach pierwszych,

11. Wstęp do ogólnej teorii elementów całkowitych i rozszerzeń całkowitych,

12. Pierścienie liczb całkowitych w skończonych rozszerzeniach ciała liczb

wymiernych, istnienie bazy całkowitej, pierścienie Dedekinda,

13. Rozkłady ideałów w pierścieniach Dedekinda,

14. Pierścienie liczb całkowitych w rozszerzeniach kwadratowych. pierścienie

Euklidesowe, zastosowania do rozwiązywania równań diofantycznych.

15. Pierścienie liczb całkowitych w rozszerzeniach cyklotomicznych, związek z Wielkim twierdzeniem Fermata

16. Elementy odwracalne w pierścieniach liczb całkowitych rozszerzeń kwadratowych, równanie Pella. Informacja o twierdzeniu Dirichleta

Efekty uczenia się:

1. Student zna podstawowe fakty i pojęcia związane z zasadniczym twierdzeniem arytmetyki; zna uogólnienia tego twierdzenia na przypadek pierścieni liczb całkowitych ciał liczbowych.

2. Student zdaje sobie sprawę z fundamentalnego znaczenia liczb pierwszych w matematyce i zna historię badań nad ich rozmieszczeniem; potrafi sformułować i udowodnić twierdzenie Czebyszewa lub Hadamarda-Poussena o liczbach pierwszych.

3. Student zna pojęcie kongruencji w pierścieniu liczb całkowitych i postrzega je na tle rozwoju algebry abstrakcyjnej; potrafi stosować podstawowe fakty i twierdzenia (małe twierdzenie Fermata, twierdzenie Eulera, twierdzenie Wilsona); rozumie znaczenie teorii kongruencji dla współczesnej kryptografii.

4. Student potrafi rozwiązywać najprostsze równania diofantyczne (w szczególności dowodzić, że dane równanie nie ma rozwiązań); umie wykorzystywać w tym celu własności pierścieni liczb całkowitych w ciałach liczbowych.

5. Student zna prawo wzajemności dla reszt kwadratowych i potrafi je stosować.

6. Student zna najsłynniejsze otwarte problemy teorii liczb; potrafi rozeznać ich znaczenie w samej teorii liczb i w szerszym kontekście (matematycznym i kulturowym).

Metody i kryteria oceniania:

Przedmiot kończy się egzaminem. Dopuszczenie do egzaminu jest warunkowane zaliczeniem ćwiczeń u prowadzących. Dopuszczenia do egzaminu w terminie zerowym odbywa się w oparciu o przedstawioną opinię n.t. studenta przez prowadzącego ćwiczenia.

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2023/24" (w trakcie)

Okres: 2024-02-19 - 2024-06-16

Wybrany podział planu:
Przejdź do planu
Typ zajęć:
Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Mariusz Skałba
Prowadzący grup: Mariusz Skałba
Strona przedmiotu: https://www.mimuw.edu.pl/~jjelisiejew/uw/202223-teoria-liczb/index.html
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.
ul. Banacha 2
02-097 Warszawa
tel: +48 22 55 44 214 https://www.mimuw.edu.pl/
kontakt deklaracja dostępności USOSweb 7.0.1.0-03d50b88b (2024-02-19)