Wstęp do analizy stochastycznej

fakultatywne

Rachunek prawdopodobieństwa II 1000-135RP2

Student powinien znać podstawy rachunku prawdopodobieństwa, takie jak rozkład

zmiennej losowej, zbieżności rozkładów, rozkłady wielowymiarowe, warunkowa wartość oczekiwana.

Podstawowe własności procesu Wienera, martyngałów z czasem ciągłych, martyngałów lokalnych, semimartyngałów. Wahanie kwadratowe semimartyngałów ciągłych i twierdzenie Dooba-Meyera. Całka Itô i jej podstawowe własności. Wzór Itô. Twierdzenie Lévy’ego o reprezentacji, zamiana miary, twierdzenie Girsanowa. Mocne i słabe rozwiązania równań stochastycznych. Związki równań stochastycznych z równaniami o pochodnych cząstkowych.

1. Podstawowe własności procesu Wienera i martyngałów z czasem ciągłym.

2. Elementy ogólnej teorii procesów w zakresie niezbędnym dla potrzeb wykładu.

3. Martyngały lokalne i semimartyngały. Wahanie kwadratowe martyngałów ciągłych i martyngałów lokalnych,

twierdzenie Dooba-Meyera.

4. Całka Stieltjesa i całka izometryczna Paleya-Wienera.

5. Całka stochastyczna Itô względem procesu Wienera. Uogólnienie: całka stochastyczna względem

semimartyngałów ciągłych.

6. Podstawowe własności całki stochastycznej: całkowanie przez podstawienie i całkowanie przez części.

7. Wzór Itô. Wahanie kwadratowe dla całki stochastycznej.

8. Twierdzenie Lévy’ego o reprezentacji, zamiana miary, twierdzenie Girsanowa.

9. Mocne rozwiązania stochastycznych równań różniczkowych. Istnienie i jednoznaczność mocnych rozwiązań

dla równań o współczynnikach lipschitzowskich. Związek z równaniami cząstkowymi. Równania

stochastyczne liniowe.

10. Słabe rozwiązania stochastycznych równań różniczkowych. Konstrukcja słabego rozwiązania używajaca

twierdzenia Girsanowa.

1. I. Karatzas, S. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus. Springer-Verlag 1997.

2. D. Revuz, M. Yor, Continuous Martingales and Brownian Motion. Springer-Verlag 1999.

3. A.D. Wentzell, Wykłady z teorii procesów stochastycznych. PWN 1980

4.P. Protter, Stochastic integration and differential equations., Springer-Verlag 1995.

5. R. Latała, Wstęp do Analizy Stochastycznej, https://www.mimuw.edu.pl/~rlatala/testy/proc/was.pdf

1. Zna podstawowe własności procesu Wienera i martyngałów z czasem ciągłym.

2. Zna pojęcie martyngału lokalnego i jego wahania kwadratowego. Potrafi wyznaczyć wahanie kwadratowe dla procesu Wienera. Zna twierdzenie Dooba-Meyera.

3. Zna definicję całki Itô względem procesu Wienera i semimartyngałów ciągłych, jak również podstawowe ich własności. Zna wzór Itô i potrafi go zastosować. Potrafi wyznaczyć wahanie kwadratowe całki stochastycznej.

4. Zna twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności mocnych rozwiązań równań stochastycznych o lipschitzowskich współczynnikach i potrafi zastosować je do konkretnych zagadnień. Potrafi rozwiązywać równania różniczkowe liniowe.

5. Rozumie różnicę między słabymi a mocnymi rozwiązaniami stochastycznych równań różniczkowych

Ocena końcowa wystawiana jest na podstawie łącznej sumy punktów uzyskanych na kolokwiach i egzaminie.