Całkowanie przez części a funkcje o wahaniu skończonym

Informacje ogólne

Kod przedmiotu:	1000-1M15CPC
Kod Erasmus / ISCED:	11.1 Kod klasyfikacyjny przedmiotu składa się z trzech do pięciu cyfr, przy czym trzy pierwsze oznaczają klasyfikację dziedziny wg. Listy kodów dziedzin obowiązującej w programie Socrates/Erasmus, czwarta (dotąd na ogół 0) – ewentualne uszczegółowienie informacji o dyscyplinie, piąta – stopień zaawansowania przedmiotu ustalony na podstawie roku studiów, dla którego przedmiot jest przeznaczony. / (0541) Matematyka Kod ISCED - Międzynarodowa Standardowa Klasyfikacja Kształcenia (International Standard Classification of Education) została opracowana przez UNESCO.
Nazwa przedmiotu:	Całkowanie przez części a funkcje o wahaniu skończonym
Jednostka:	Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy:	Przedmioty obieralne na studiach drugiego stopnia na kierunku bioinformatyka
Punkty ECTS i inne:	(brak) Podstawowe informacje o zasadach przyporządkowania punktów ECTS: roczny wymiar godzinowy nakładu pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się dla danego etapu studiów wynosi 1500-1800 h, co odpowiada 60 ECTS; tygodniowy wymiar godzinowy nakładu pracy studenta wynosi 45 h; 1 punkt ECTS odpowiada 25-30 godzinom pracy studenta potrzebnej do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się; tygodniowy nakład pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się pozwala uzyskać 1,5 ECTS; nakład pracy potrzebny do zaliczenia przedmiotu, któremu przypisano 3 ECTS, stanowi 10% semestralnego obciążenia studenta. zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia:	angielski
Rodzaj przedmiotu:	monograficzne
Skrócony opis:	Wprowadzimy niezbędne elementy teorii przestrzeni BV i teorii miary, aby przedstawić znany wzór na całkowanie przez części, gdy dane nie są regularne. Opowiemy o zastosowaniach, zwłaszcza do rachunku wariacyjnego.
Pełny opis:	Znany wzór na całkowanie przez części zapisujemy następująco: całka po obszarze U z dywergencji pola wektorowego X równa się całce po brzegu U ze składowej normalnej pola X. Ten wzór wymaga od nas, abyśmy wiedzieli co to jest: 1) brzeg obszaru U i miara powierzchniowa na nim; 2) składowa normalna pola X. Nie ma z tym problemu, gdy brzeg U jest rozmaitością gładką a pole X też jest gładkie. W wielu przykładach okazuje się, że wspomniane wyżej obiekty mają niską gładkość. Pojawiają się one w sposób naturalny w rachunku wariacyjnym w zagadnieniu najmniejszego gradientu, czy optymalizacji kształtu. Zajmiemy się dwoma sytuacjami, gdy a) Funkcja charakterystyczna zbioru U ma wahanie skończone, wymaga to wprowadzenia w teorię przestrzeni BV lub b) Pole wektorowe X i jego dywergencja są z L^p, wtedy trzeba wyjaśnić co to jest składowa normalna pola wektorowego. W wykładzie zostanie przedstwiona niezbędna teoria przestrzeni BV i teorii miary Przedstawione wyniki będą stosowane w naturalnych przykładach biorących się z rachunku wariacyjnego, takich jak wspomniane wcześniej i teorii równań różniczkowych cząstkowych.
Literatura:	1) L.C.Evans, R.F.Gariepy, Measure theory and fine properties of functions. CRC Press, Boca Raton, FL, 1992 2) W.Ziemer, Weakly differentiable functions. Sobolev spaces and functions of bounded variation. Springer-Verlag, New York, 1989 3) Mazón, José M.; Rossi, Julio D.; Segura de León, Sergio Functions of least gradient and 1-harmonic functions. Indiana Univ. Math. J. 63 (2014), no. 4, 1067–1084 4) G. Anzellotti, Pairings Between Measures and Bounded Functions and Compensated Compactness, Ann. di Matematica Pura ed Appl. 135 (1983), no. 1, 293–318.
Efekty uczenia się:	1) Zna i rozumie elementy teorii przestrzeni BV, umie je stosować z zadaniach geometrycznych i analitycznych; 2) Zna, rozumie i umie zastosować subtelności związane z całkowaniem przez części;

Przedmiot nie jest oferowany w żadnym z aktualnych cykli dydaktycznych.

Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.