Pożytki z przestrzeni BV - zagadnienia ewolucyjne i statyczne

matematyka

monograficzne

Kurs jest dla osób zainteresowanych analizą, równaniami różniczkowymi, rachunkiem wariacyjnym i zagadnieniami, w których

ważnymi narzędziami badań są miary (poza probabilistyką).

Oczekuje się, że student ma opanowany materiał wykładu pt. Analiza II

w sali

Wykład jest poświęcony funkcjonałom o liniowym wzroście i ich potokom gradientowym. Pojawiają się one w zagadnieniach analizy obrazów i modelowania wzrostu kryształów, dzięki temu, że możliwe jest opisywanie ewolucji płaskich ścianek. Ewolucja jednowymiarowa jest szczególnie prosta i nie wymaga wiedzy z RRCz. Ważnym elementem analizy są funkcje o wahaniu ograniczonym -- BV.

Punktem wyjścia jest sformułowany na początku lat 80-tych ubiegłego wieku algorytm ROF rekonstrukcji obrazów. Zasadniczą częścią funkcjonału ROF jest wahanie

całkowite funkcji rzeczywistej, reprezentującej intensywność obrazu. Bliższe oględziny mówią nam, jego minimalizowanie oznacza numeryczne

rozwiązywanie równania potoku gradientowego funkcjonału wahania całkowitego funkcji, tj u_t = - grad E[u], gdzie E[u] jest całką z | D u |. Stykamy się tutaj z przestrzenią BV funkcji o wahaniu ograniczonym. Jest to osobliwe równanie paraboliczne, którego rozwiązania łatwo się konstruuje w przypadku jednowymiarowym bez żadnej wiedzy na temat RRCz. W przypadku wielowymiarowym posłużymy się teorią półgrup nieliniowych. Dokładniej przedstawimy tę teorię w ujęciu

książki [ACM]. Oprócz tego przedstawimy konkretne przykłady w oparciu o pracę [Mo], które dotyczą też przypadku anizotropowego.

Minima funkcjonału E są położeniami stacjonarnymi potoku gradientowego. Zauważmy, że mamy funkcjonał, który jest określony na miarach. Zajmiemy

się nieco ogólniejszą sytuacją, gdy E jest funkcjonałem o wzroście liniowym na przestrzeni Sobolewa funkcji o całkowanym gradiencie. Przekonamy się, że po to, aby znaleźć rozwiązanie zagadnienia minimalizacji E musimy rozszerzyć E na funkcje, którym pochodne są miarami. Ponownie więc pojawia się tu przestrzeń BV. Osobnym zagadnieniem jest postać takiego `zrelaksowanego' funkcjonału, [BV], [FR] i in.. Odpowiemy na to pytanie i zajmiemy się minimalizowaniem różnych

funkcjonałów o liniowym wzroście, w szczególności opowiemy o zagadnieniu najmniejszego gradientu, [Ma], [MRL].

[ACM] F. Andreu-Vaillo, V. Caselles, J. M. Mazon Parabolic Quasilinear Equations Minimizing Linear Growth Functionals Springer Basel 2004

[BV] G.Bouchitte, M.Valadier, Integral representation of convex functionals on a space of measures, J. Funct. Anal. 80 (1988), no. 2, 398-420.

[FR] I.Fonseca, P.Rybka Relaxation of multiple integrals in the space $BV(Omega; R^p)$, Proc. Royal Soc. Edinburgh A, 121, (1992), 321-348

[Ma] J.M.Mazon, The Euler-Lagrange equation for the anisotropic least gradient problem, preprint.

[MRL] J.M.Mazon, J.D.Rossi, S.Segura de Leon, Functions of least gradient and 1-harmonic functions, Indiana Univ. Math. J., 63 (2014), no. 4, 1067-1084.

[Mo] Moll, J. S. The anisotropic total variation flow. Math. Ann. 332 (2005), 177-218

Opis efektów kształcenia:

1) Rozumie rolę przestrzeni BV w teorii funkcjonałów o liniowym wzroście i zagadnienia relaksacji funkcjonałów.

2) Zna i rozumie podstawowe właściwości funkcjonałów o liniowym wzroście: istnienie minimów i ich jedyność, postać równań Eulera-Lagrange'a.

3) Zna i rozumie konstrukcję potoku gradientowego wahania funkcji lub podobnych funkcjonałów. Zna i rozumie podstawowe właściwości rozwiązań

wspomnianego potoku gradientowego.

Zaliczenie:

uczestnictwo w zajęciach, napisanie pracy zaliczeniowej na uzgodniony temat i rozmowa o tejże pracy.