Ekwiwariantne kohomologie w geometrii algebraicznej
Informacje ogólne
Kod przedmiotu: | 1000-1M23EK |
Kod Erasmus / ISCED: |
11.0
|
Nazwa przedmiotu: | Ekwiwariantne kohomologie w geometrii algebraicznej |
Jednostka: | Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki |
Grupy: |
Przedmioty monograficzne dla matematyki 2 stopnia |
Strona przedmiotu: | https://www.mimuw.edu.pl/~aweber/ekwga |
Punkty ECTS i inne: |
6.00
|
Język prowadzenia: | angielski |
Kierunek podstawowy MISMaP: | fizyka |
Rodzaj przedmiotu: | monograficzne |
Wymagania (lista przedmiotów): | Metody algebraiczne geometrii i topologii 1000-135MGT |
Założenia (lista przedmiotów): | Geometria algebraiczna 1000-135GEA |
Założenia (opisowo): | Znajomość singularnej teorii kohomologii lub teorii de Rhama, podstawy geometrii różniczkowej i algebraicznej. |
Tryb prowadzenia: | w sali |
Skrócony opis: |
Ekwiwariantna teoria kohomologii Borela jest wprowadzona metodami topologicznymi i różniczkowymi. Stosowana jest do klasycznych przestrzeni geometri algebraicznej, takich jak rozmaitości flag i Grassmaniany. Własności kohomologii ekwiwariantnych rozmaitości rzutowych są omówione. Zastosowania wykorzystują ekwiwariantną formalność i twierdzenie o lokalizacji dla działania torusa. Omówiony jest ekwiwariantny rachunek Schuberta. |
Pełny opis: |
Działania torusa na przestrzeni liniowej, wagi, charaktery. Podstawowe informacje o działaniach spójnych grup na rozmaitościach gładkich, działanie algebry Lie. Twierdzenie o slajsie, ekwiwariantne CW-kompleksy. Wiązki główne, przestrzenie klasyfikujące, rozmaitości Stiefela. Ekwiwariantne kohomologie Borela, obliczenia dla przestrezni jednorodnych (rozmaitości Grassmanna, rozmaitości flag). Interpretacja kohomologii ekwiwariantnych za pomocą form różniczkowych. Algebra Weila, koneksja. Skręt Mathai-Quillena, teoria de Rhama - Cartana. Ekwiwariantne wiązki, ekwiwariantne klasy charakterystyczne. Ekwiwariantna formalność kohomologii. Formakność rozmaitości rzutowych. Twierdzenie o lokalizacji Borela dla działania torusa. Twierdzenie o lokalizacji Atiyah-Bott-Beline-Vergne, formuła całkowa, formuła Duistermaata–Heckmana dla działań hamiltonowskich. Przestrzenie GKM, lemat Changa-Skjelbreda. Odwzorowanie momentu. Zastosowania twierdzenia o lokalizacji do obliczenia charakterystyki Eulera wiązek ekwiwariantnych. Ekwiwariantny rachunek Schuberta. |
Literatura: |
D. Anderson, W. Fulton: Equivariant Cohomology in Algebraic Geometry V. Guillemin, S. Sternberg: Supersymmetry and Equivariant de Rham Theory , Springer 1999 |
Efekty uczenia się: |
Stdent zapoznaje się z podstawowymi pojęciami ekwiwariantnej teorii kohomologii. Poznaje topologiczną konstrukcję i umie ją porównać z konstrukcją opartą o metody geometrii różniczkowej.. Poznaje zastosowania w geometrii algbraicznej, w sczególności do badania przestrzeni jednorodnych. Student osiąga znajomość bieżacego stanu wiedzy z dziedziny na poziomie wystarczającym do podjęcia samodzielnych badań. |
Metody i kryteria oceniania: |
1/3 rozwiązywanie zadań na ćwiczeniach, 1/3 esej, 1/3 egzamin ustny |
Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2023/24" (zakończony)
Okres: | 2023-10-01 - 2024-01-28 |
Przejdź do planu
PN WYK-MON
WT CW
ŚR CZ PT |
Typ zajęć: |
Ćwiczenia, 30 godzin
Wykład monograficzny, 30 godzin
|
|
Koordynatorzy: | Andrzej Weber | |
Prowadzący grup: | Andrzej Weber | |
Lista studentów: | (nie masz dostępu) | |
Zaliczenie: | Egzamin |
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.