Wymiary w teorii pierścieni

monograficzne

Algebra II 1000-134AG2
Algebry skończenie wymiarowe i reprezentacje liniowe 1000-135ASW

Wcześniejsze lub równoległe zaliczenie wykładów fakultatywnych „Algebra II” oraz „Algebry skończenie wymiarowe i reprezentacje liniowe” może być przydatne, ale nie jest konieczne.

Wykład poświęcony będzie prezentacji kilku najważniejszych pojęć wymiaru, które odgrywają szczególnie istotną rolę, jako narzędzia, w teorii pierścieni łącznych (na ogół nieprzemiennych). A mianowicie:

• klasycznego wymiaru Krulla,

• wymiaru Gelfanda-Kirillova,

• wymiaru Goldiego,

• wymiaru Gabriela-Rentschlera,

• wymiarów natury homologicznej (projektywny, injektywny, globalny, itd.).

Wykład poświęcony będzie prezentacji kilku najważniejszych pojęć wymiaru, które odgrywają szczególnie istotną rolę, jako narzędzia, w teorii pierścieni łącznych (na ogół nieprzemiennych). A mianowicie:

• klasycznego wymiaru Krulla,

• wymiaru Gelfanda-Kirillova,

• wymiaru Goldiego,

• wymiaru Gabriela-Rentschlera,

• wymiarów natury homologicznej (projektywny, injektywny, globalny, itd.).

Celem jest przedstawienie podstawowych własności tych wymiarów, w tym także w kontekście fundamentalnych pojęć i narzędzi strukturalnej teorii pierścieni (takich jak, na przykład, twierdzenie Goldiego czy różnego typu radykały). Omówimy zachowanie się tych wymiarów przy pewnych ważnych konstrukcjach teorii pierścieni. Podamy też wyjaśnienia niektórych związków zachodzących pomiędzy tymi wymiarami, przykłady ich zastosowań i konteksty, w których się ich używa. W końcu przedstawimy niektóre ważne otwarte problemy dotyczące omawianych tematów.

1. S. Balcerzyk, T. Józefiak, Pierścienie Przemienne.

2. G. R. Krause, T. H. Lenagan, Growth of Algebras and Gelfand-Kirillov dimension.

3. T. Y. Lam, Lectures on Modules and Rings.

4. J. C. McConnell, J. C. Robson, Noncommutative Noetherian Rings.

5. C. Nǎstǎsescu, F. van Oystaeyen, Dimensions of Ring Theory.

6. J. Okniński, Semigroup Algebras.

7. D. S. Passman, A Course in Ring Theory.

8. C. Weibel, An Introduction to Homological Algebra.

Student:

• zna definicje wymiarów: Krulla, Gelfanda-Kirillova, Goldiego, Gabriela-Rentschlera i wymiarów homologicznych.

• umie posługiwać się pojęciami użytymi w tych definicjach, a mianowicie: funkcją wzrostu, ideałami pierwszymi, pojęciem modułu jednolitego, modułu wolnego, modułu projektywnego, injektywnego oraz związanych z nimi rezolwent.

• potrafi uzasadnić poprawność definicji wymiaru Gelfanda-Kirillova i wymiarów homologicznych.

• umie scharakteryzować klasy pierścieni niskich wymiarów (wymiaru 0 i/lub wymiaru 1).

• zna zbiór możliwych wartości każdego z wymiarów i umie podać przykłady pierścieni, dla których dany wymiar posiada zadaną wartość.

• umie podać przykłady klas pierścieni, dla których wybrane wymiary się pokrywają, a także przykłady pierścieni, dla których różne wymiary przyjmują różne wartości.

• zna zachowanie się wymiarów przy podstawowych operacjach i konstrukcjach algebraicznych: przechodzeniu do podpierścienia, do obrazu homomorficznego, do pierścienia macierzy, pierścienia wielomianów, skończonego rozszerzenia (w sensie modułów); potrafi przeprowadzić rozumowanie uzasadniające odpowiednie stwierdzenia.

• zna i umie stosować twierdzenia pozwalające policzyć wymiary skończenie generowanych algebr przemiennych (twierdzenie Noether o normalizacji, twierdzenia o zachowaniu się ideałów pierwszych przy rozszerzeniach całkowitych).

• umie wskazać konteksty, w których poszczególne wymiary mają zastosowanie i podać przykłady takich zastosowań.

obecność i aktywność na zajęciach; egzamin ustny