Metody numeryczne
Informacje ogólne
Kod przedmiotu: | 1000-215bMNU |
Kod Erasmus / ISCED: |
11.303
|
Nazwa przedmiotu: | Metody numeryczne |
Jednostka: | Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki |
Grupy: |
Przedmioty obieralne dla II-III roku bioinformatyki |
Punkty ECTS i inne: |
6.00
|
Język prowadzenia: | polski |
Rodzaj przedmiotu: | obowiązkowe |
Wymagania (lista przedmiotów): | Algorytmy i struktury danych 1000-213bASD |
Skrócony opis: |
Wiele praktycznych zastosowań komputerów (symulacje zjawisk przyrodniczych, społecznych i innych, kodowanie MP3 i JPEG, systemy projektowania CAD, wyszukiwarki internetowe itp.) wymaga przeprowadzenia obliczeń na liczbach rzeczywistych lub zespolonych. W niniejszym wykładzie przedstawiamy metody numerycznego rozwiązywania podstawowych zagadnień matematycznych spotykanych w zastosowaniach. Nacisk kładziemy na efektywne łączenie teorii matematycznej i praktyki obliczeniowej, aby tworzyć skuteczne - a więc szybkie i dokładne (na ile to możliwe) algorytmy wyznaczania rozwiązań. Dyskutujemy własności i ograniczenia omawianych algorytmów, a także wskazujemy praktyczne aspekty ich implementacji. Pokazujemy, że niektóre zadania mogą być trudne w realizacji numerycznej - i że czasem można to sprytnie obejść. |
Pełny opis: |
1. Rozwiązywanie równań nieliniowych: • Metoda Newtona • Podstawowe pojęcia w numerycznym rozwiązywaniu równań (funkcja iteracyjna, kula zbieżności, wykładnik zbieżności, graniczna dokładność) • Metoda siecznych • Metoda Newtona dla układu równań • Modyfikacje • Kryteria stopu 2. Arytmetyka zmiennopozycyjna: • Reprezentacja zmiennopozycyjna liczb • Arytmetyka i błędy zaokrągleń • Arytmetyka zmiennopozycyjna zespolona 3. Błędy w obliczeniach: • Numeryczne uwarunkowanie zadania • Błędy reprezentacji wektorów • Numeryczna poprawność i stabilność algorytmu 4. Rozwiązywanie układów równań liniowych: • Uwarunkowanie układu równań liniowych • Metody bezpośrednie: metoda eliminacji Gaussa, metoda odbić Householdera, metoda Choleskiego, układy i algorytmy blokowe, szacowanie błędu i iteracyjne poprawianie rozwiązania • Metody iteracyjne: metody iteracji prostej, metoda sprzężonych gradientów, poprawianie uwarunkowania 5. Liniowe zadania najmniejszych kwadratów: • Regularne LZNK • Dualne LZNK • Nieregularne LZNK 6. Algebraiczne zagadnienie własne: • Sformułowanie problemu • Metoda potęgowa • Odwrotna metoda potęgowa • Sprowadzanie macierzy symetrycznej do postaci trójdiagonalnej • Algorytm QR 7. Interpolacja wielomianowa: • Sformułowanie zadań interpolacji Lagrange’a i Hermite’a • Bazy Newtona • Różnice dzielone i ich własności • Algorytm różnic dzielonych • Reszta interpolacyjna 8. Interpolacja funkcjami sklejanymi • Motywacja dla stosowania funkcji sklejanych • Obcięte funkcje potęgowe • Reprezentacja Hermite’a funkcji sklejanych trzeciego stopnia • Kubiczne interpolacyjne funkcje sklejane klasy C2 • Twierdzenie Holladaya • Funkcje B-sklejane • Kubiczne funkcje interpolacyjne w reprezentacji B-sklejanej • Twierdzenie Schoenberga-Whitney 9. Interpolacja trygonometryczna: • Trygonometryczne zadanie interpolacji Lagrange’a • Dyskretna transformata Fouriera • Algorytm FFT 10. Aproksymacja funkcji: • Aproksymacja jednostajna: wielomiany i węzły Czebyszewa, _alternans i algorytm Remeza, aproksymacja jednostajna przez funkcje sklejane • Aproksymacja średniokwadratowa: wielomiany ortogonalne 11. Numeryczne obliczanie całek: • Kwadratury interpolacyjne • Zamiana zmiennych • Kwadratury Gaussa • Kwadratury złożone • Ekstrapolacja Richardsona i metoda Romberga • Uwagi o całkowaniu funkcji wielu zmiennych 12. Wybrane środowiska i biblioteki dla obliczeń numerycznych |
Literatura: |
1. D. Kincaid, W. Cheney, Analiza numeryczna, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 2006. 2. P. Krzyżanowski, Obliczenia inżynierskie i naukowe, PWN, Warszawa 2011 3. J. Jankowska, M. Jankowski, M. Dryja, Przegląd metod i algorytmów numerycznych cz. 1 i 2, WNT Warszawa 1988, 4. G. Dahlquist, A. Bjorck Metody numeryczne, PWN Warszawa 1983 |
Efekty uczenia się: |
Wiedza: * Student zna w stopniu zaawansowanym podstawową wiedzę na temat architektury współczesnych systemów (logika układów cyfrowych i reprezentacja danych, architektura procesora, wejście-wyjście, pamięć, architektury wieloprocesorowe) (K_W06). W kontekście przedmiotu w szczególności: + Zna podstawowe możliwości i ograniczenia obliczeń numerycznych. + Zna i umie stosować algorytmy rozwiązywania typowych zadań numerycznych. + Zna pojęcia numerycznego uwarunkowania zadania oraz numerycznej poprawności i stabilności algorytmu. + Wie, na co zwracać uwagę podczas dobierania algorytmu do rozwiązania konkretnego zadania. + Zna wybrane biblioteki procedur numerycznych i środowiska do przeprowadzania obliczeń numerycznych dla typowych zadań. Umiejętności: * Umie zastosować wiedzę matematyczną do formułowania, analizowania i rozwiązywania związanych z informatyką zadań o średnim poziomie złożoności (K_U01). * Umie pozyskiwać informacje z literatury, baz wiedzy, Internetu oraz innych wiarygodnych źródeł, integrować je, dokonywać ich interpretacji oraz wyciągać wnioski i formułować opinie (K_U02). * Umie posługiwać się przyjętymi formatami reprezentacji różnego rodzaju danych stosownie do sytuacji (liczby, tablice, tekst) pamiętając o ich ograniczeniach, np. związanych z arytmetyką komputera (K_U08). * Umie samodzielnie planować i realizować własne uczenie się przez całe życie (K_U09). Kompetencje społeczne: * Student jest gotów do pracy z zachowaniem uczciwości intelektualnej w działaniach własnych i innych osób; przestrzegania zasad etyki zawodowej i wymagania tego od innych oraz dbałości o dorobek i tradycje zawodu informatyka (K_K02). * Student jest gotów do uznawania znaczenia wiedzy w rozwiązywaniu problemów poznawczych i praktycznych oraz wyszukiwania informacji w literaturze oraz zasięgania opinii ekspertów (K_K03). |
Metody i kryteria oceniania: |
Zaliczenie ćwiczeń na podstawie prac domowych, aktywności na zajęciach i projektów komputerowych. Egzamin pisemny i w wyjątkowych przypadkach ustny. |
Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2023/24" (zakończony)
Okres: | 2023-10-01 - 2024-01-28 |
Przejdź do planu
PN WT ŚR CW
CW
LAB
LAB
CZ WYK
PT CW
CW
LAB
LAB
CW
CW
LAB
CW
LAB
LAB
LAB
CW
|
Typ zajęć: |
Ćwiczenia, 30 godzin
Laboratorium, 15 godzin
Wykład, 30 godzin
|
|
Koordynatorzy: | Piotr Krzyżanowski | |
Prowadzący grup: | Bartosz Bieganowski, Przemysław Kiciak, Piotr Kowalczyk, Piotr Krzyżanowski, Leszek Marcinkowski, Leszek Plaskota | |
Strona przedmiotu: | https://moodle.mimuw.edu.pl/course/view.php?id=1904 | |
Lista studentów: | (nie masz dostępu) | |
Zaliczenie: | Egzamin |
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.