Topologia I (potok *)
Informacje ogólne
Kod przedmiotu: | 1000-113bTP1* |
Kod Erasmus / ISCED: |
11.1
|
Nazwa przedmiotu: | Topologia I (potok *) |
Jednostka: | Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki |
Grupy: |
Przedmioty obowiązkowe dla II roku JSIM - wariant 3I+4M Przedmioty obowiązkowe dla II roku JSIM - wariant 3M+4I Przedmioty obowiązkowe dla II roku matematyki Przedmioty obowiązkowe dla II roku matematyki specjalności MSEM |
Punkty ECTS i inne: |
7.50
|
Język prowadzenia: | polski |
Rodzaj przedmiotu: | obowiązkowe |
Założenia (opisowo): | Oczekuje się dobrej znajomości zagadnień ujętych w sylabusach przedmiotu Wstęp do matematyki. |
Skrócony opis: |
Wykład omawia podstawowe pojęcia topologii: przestrzenie metryczne i topologiczne, przekształcenia ciągłe, homeomorfizmy, iloczyny kartezjańskie, zupełne przestrzenie metryczne, zwartość, spójność i łukową spójność, homotopię przekształceń i pętli, ściągalność, przestrzenie ilorazowe. Wykład jest przeznaczony dla studentów zainteresowanych głębszym poznaniem przedmiotu i lubiących myśleć o związanych z nim zadaniach i problemach. |
Pełny opis: |
1. Przestrzenie metryczne. Przestrzenie topologiczne. Przekształcenia ciągłe, homeomorfizmy. Aksjomaty oddzielania. Ośrodkowość. Przestrzenie ilorazowe. Rozmaitości 2-wymiarowe, przykłady ich otrzymywania przez sklejania wielokąta. Iloczyny kartezjańskie przestrzeni topologicznych. Tw. Tietzego o przedłużaniu przekształceń. (3 wykłady) 2. Przestrzenie zwarte. Równoważne warunki zwartości w przestrzeniach metryzowalnych. Zwarte podzbiory przestrzeni euklidesowej. Zbiór Cantora. Przekształcenia ciągłe przestrzeni zwartych. Jednostajna ciągłość. Tw. Tichonowa o zwartości iloczynu kartezjańskiego przestrzeni zwartych. Przestrzenie lokalnie zwarte, uzwarcenie jednopunktowe. (3 wykłady). 3. Przestrzenie zupełne. Jeśli przestrzeń Y jest zupełna, to dla każdej przestrzeni topologicznej X przestrzeń funkcji ograniczonych C_b(X,Y) z metryką sup jest zupełna. Tw. Banacha o punkcie stałym. Tw. Baire'a. Zupełność + całkowita ograniczoność = zwartość. Tw. Ascoliego-Arzeli. (2 wykłady). 4. Przestrzenie spójne. Łukowa spójność. Składowe spójności i składowe łukowej spójności. (1 wykład). 5. Homotopia przekształceń. Ściągalność przestrzeni. Homotopia pętli. Jednospójność. Jednospójność sfer wymiaru co najmniej 2. Nieściągalność okręgu. Wnioski: nieistnienie retrakcji dysku na okrąg, tw. Brouwera w wymiarze 2. Dowód Zasadniczego Twierdzenia Algebry. Tw. Borsuka o rozcinaniu: zwarty podzbiór A rozcina n+1-wymiarową euklidesową wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje przekształcenie zbioru A w sferę n-wymiarową, które nie jest homotopijne z przekształceniem stałym (dowód dla n=1). (4 wykłady). |
Literatura: |
1. S. Betley, J.Chaber, E. Pol, R. Pol - Topologia I, Skrypt MIMUW, 2005 2. R. Engelking, K. Sieklucki - Wstęp do topologii, PWN 1986. 3. K. Janich, Topologia, Warszawa 1991 4. K. Kuratowski, Wstęp do teorii mnogości i topologii, PWN 2004 |
Efekty uczenia się: |
1. Posiada umiejętność wprowadzania topologii w zbiorze przy pomocy zadania metryki, lub rodzin podzbiorów spełniających określone warunki. Umie znajdować domknięcia i wnętrza podzbiorów przestrzeni topologicznych i metrycznych. 2. Umie stosować różne kryteria ciągłości do zbadania, czy zadane przekształcenie jest ciągłe i czy jest homeomorfizmem. 3. Zna sposoby definiowania przestrzeni topologicznych przy pomocy konstrukcji podprzestrzeni, iloczynu kartezjańskiego, przestrzeni ilorazowej i sumy prostej. Rozpoznaje te konstrukcje w przykładach geometrycznych. 4. Potrafi rozpoznać własności zwartości, spójności i łukowej spójności przestrzeni topologicznej i metrycznej. Umie wykorzystać te własności do rozstrzygania czy przestrzenie są homeomorficzne. 5. Zna podstawowe przykłady przestrzeni zwartych, w tym zbiór Cantora i twierdzenia dotyczące zwartości, w tym twierdzenie Tichonowa i twierdzenie Weierstrassa. 6. Potrafi rozstrzygnąć o zupełności przestrzeni metrycznej i zna pojęcie metryzowalności w sposób zupełny. Zna twierdzenie Banacha i twierdzenie Baire’a. Umie konstruować obiekty o specjalnych własnościach przy pomocy Twierdzenie Baire’a. 7. Potrafi rozpoznać kiedy dwa przekształcenia są homotopijne. Odróżnia przestrzenie ściągalne od nieściągalnych. Zna twierdzenie o nieściągalności okręgu i jego zastosowania. |
Metody i kryteria oceniania: |
przedmiot kończy się egzaminem |
Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2023/24" (zakończony)
Okres: | 2023-10-01 - 2024-01-28 |
Przejdź do planu
PN WT CW
ŚR CW
WYK
CW
CZ CW
PT |
Typ zajęć: |
Ćwiczenia, 45 godzin
Wykład, 30 godzin
|
|
Koordynatorzy: | Andrzej Nagórko | |
Prowadzący grup: | Andrzej Nagórko, Karol Szumiło | |
Lista studentów: | (nie masz dostępu) | |
Zaliczenie: |
Przedmiot -
Egzamin
Wykład - Egzamin |
Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2024/25" (w trakcie)
Okres: | 2024-10-01 - 2025-01-26 |
Przejdź do planu
PN WT ŚR WYK
CW
CW
CZ PT CW
CW
|
Typ zajęć: |
Ćwiczenia, 45 godzin
Wykład, 30 godzin
|
|
Koordynatorzy: | Wojciech Politarczyk | |
Prowadzący grup: | Agnieszka Bojanowska-Jackowska, Witold Marciszewski, Wojciech Politarczyk | |
Lista studentów: | (nie masz dostępu) | |
Zaliczenie: |
Przedmiot -
Egzamin
Wykład - Egzamin |
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.