Serwisy internetowe Uniwersytetu Warszawskiego | USOSownia - uniwersyteckie forum USOSoweNie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Topologia I (potok 1)

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-113bTP1a Kod Erasmus / ISCED: 11.1 / (0541) Matematyka
Nazwa przedmiotu: Topologia I (potok 1)
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty obowiązkowe dla II roku (3. semestr) JSIM - wariant 3I+4M
Przedmioty obowiązkowe dla II roku (3. semestr) JSIM - wariant 3M+4I
Przedmioty obowiązkowe dla II roku matematyki
Przedmioty obowiązkowe dla II roku matematyki specjalności MSEM
Punkty ECTS i inne: 7.50
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: polski
Rodzaj przedmiotu:

obowiązkowe

Skrócony opis:

Wykład omawia podstawowe pojęcia topologii: przestrzenie metryczne i topologiczne, przekształcenia ciągłe, homeomorfizmy, iloczyny kartezjańskie, zupełne przestrzenie metryczne, zwartość, spójność i łukową spójność, homotopię przekształceń i pętli, ściągalność, przestrzenie ilorazowe.

Pełny opis:

1. Przestrzenie metryczne. Topologia w przestrzeniach metrycznych. Przestrzenie topologiczne. Baza topologii. Wnętrze, domknięcie, podprzestrzeń. Przestrzenie Hausdorffa. Przekształcenia ciągłe, równoważne charakteryzacje ciągłości. Homeomorfizmy. Tw. Tietzego o przedłużaniu przekształceń (dla przestrzeni metryzowalnych). Iloczyny kartezjańskie przestrzeni topologicznych. Ośrodkowość. (3 wykłady)

2. Przestrzenie zwarte. Równoważne warunki zwartości w przestrzeniach metryzowalnych. Zwarte podzbiory przestrzeni euklidesowej. Przekształcenia ciągłe przestrzeni zwartych. Tw. Weierstrasssa. Ciągłe i różnowartościowe przekształcenie przestrzeni zwartej na przestrzeń Hausdorffa jest homeomorfizmem. Jednostajna ciągłość. Zbiór Cantora. Tw. Tichonowa o zwartości iloczynu kartezjańskiego przestrzeni zwartych (dowód dla iloczynu skończonego). (3 wykłady).

3. Przestrzenie zupełne. Jeśli przestrzeń Y jest zupełna, to dla każdej przestrzeni topologicznej X przestrzeń funkcji ograniczonych C_b(X,Y) z metryką sup jest zupełna. Tw. Banacha o punkcie stałym. Tw. Baire'a. Zupełność + całkowita ograniczoność = zwartość. Tw. Ascoliego-Arzeli. (2 wykłady).

4. Przestrzenie spójne. Łukowa spójność. Składowe spójności i składowe łukowej spójności. (1 wykład).

5. Homotopia przekształceń. Ściągalność przestrzeni. Homotopia pętli. Jednospójność. Dowód nieściągalności okręgu. Wnioski: nieistnienie retrakcji dysku na okrąg, tw. Brouwera w wymiarze 2. Dowód Zasadniczego Twierdzenia Algebry. (3 wykłady).

6. Przestrzenie ilorazowe. Przyklejanie za pomocą przekształcenia. Rozmaitości 2-wymiarowe, przykłady ich otrzymywania przez sklejenia wielokąta. (2 wykłady).

Literatura:

1. S. Betley, J. Chaber, E. Pol, R. Pol, Topologia I, Skrypt MIMUW,2005

2. R. Engelking, K. Sieklucki, Wstęp do topologii. PWN, Warszawa 1986

3. K. Janich, Topologia. PWN, Warszawa 1991.

4. K. Kuratowski, Wstęp do teorii mnogości i topologii. PWN, Warszawa 2004.

5. J. Mioduszewski, Wykłady z topologii. Topologia przestrzeni euklidesowych, Katowice 1994

Efekty kształcenia:

1. Zna pojęcia przestrzeni metrycznej, przestrzeni topologicznej i jej podprzestrzeni, przestrzeni Hausdorffa, bazy topologii oraz pojęcie ośrodkowości przestrzeni. Potrafi znajdować wnętrza i domknięcia zbiorów w podstawowych przykładach przestrzeni metrycznych takich jak przestrzenie euklidesowe, płaszczyzna z metrykami „rzeka” i „kolejowa”, oraz przestrzeń C[0,1] funkcji ciągłych z odcinka w prostą, z metryką supremum.

2. Zna definicje przekształcenia ciągłego i homeomorfizmu, oraz równoważne charakteryzacje ciągłości. Zna twierdzenie Tietzego o przedłużaniu przekształceń (dla przestrzeni metryzowalnych). Potrafi znajdować zbiór punktów ciągłości funkcji określonych na podstawowych przykładach przestrzeni metrycznych.

3. Potrafi tworzyć nowe przestrzenie topologiczne przy pomocy operacji podprzestrzeni, skończonego iloczynu kartezjańskiego i przestrzeni ilorazowej, w tym poprzez przyklejenie jednej przestrzeni do drugiej przy pomocy przekształcenia ciągłego.

4. Zna definicję zwartości przestrzeni topologicznej, warunki równoważne zwartości w przestrzeniach metryzowalnych oraz własności przekształceń ciągłych określonych na przestrzeniach zwartych. Zna definicję i własności zbioru Cantora. Zna twierdzenie Tichonowa o zwartości iloczynu kartezjańskiego skończenie wielu przestrzeni zwartych.

5. Zna pojęcie metryki zupełnej i przykłady przestrzeni metrycznych zupełnych. Zna podstawowe twierdzenia o przestrzeniach metrycznych zupełnych, w tym twierdzenie Banacha o punkcie stałym i twierdzenie Baire’a. Rozpoznaje przestrzenie metryczne zupełne i umie stosować twierdzenia o przestrzeniach metrycznych zupełnych w różnych dziedzinach, w szczególności, potrafi stosować twierdzenie Baire’a do zagadnień istnienia obiektów o specjalnych własnościach. Zna twierdzenie Ascoliego-Arzeli.

6. Zna pojęcia przestrzeni spójnej i łukowo spójnej, oraz pojęcia składowych spójności i łukowej spójności.

7. Zna definicję homotopii przekształceń i pętli, oraz pojęcia ściągalności przestrzeni i jednospójności. Zna twierdzenie o nieściągalności okręgu i jego zastosowania do dowodów nieistnienia retrakcji dysku na okrąg, twierdzenia Brouwera w wymiarze 2 i Zasadniczego Twierdzenia Algebry.

8. Rozpoznaje i określa najważniejsze własności topologiczne podzbiorów przestrzeni euklidesowych i podstawowych przestrzeni metrycznych, w tym własność posiadania bazy przeliczalnej, własność ośrodkowości, zwartości, spójności, łukowej spójności i ściągalności. Rozumie związki między tymi pojęciami.

9. Umie wykorzystywać własności topologiczne zbiorów i funkcji do rozwiązywania zadań o charakterze jakościowym.

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2018/19" (zakończony)

Okres: 2018-10-01 - 2019-01-25
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 45 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Stanisław Betley
Prowadzący grup: Stanisław Betley, Weronika Buczyńska, Mikołaj Krupski, Elżbieta Pol, Roman Pol
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Wykład - Egzamin

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2019/20" (w trakcie)

Okres: 2019-10-01 - 2020-01-27
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 45 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Stanisław Betley
Prowadzący grup: Stanisław Betley, Agnieszka Bojanowska-Jackowska, Mikołaj Krupski, Elżbieta Pol, Roman Pol
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Wykład - Egzamin
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.