Topologia I (potok 1)

obowiązkowe

Oczekuje się dobrej znajomości zagadnień ujętych w sylabusach przedmiotu Wstęp do matematyki.

Wykład omawia podstawowe pojęcia topologii: przestrzenie metryczne i topologiczne, przekształcenia ciągłe, homeomorfizmy, iloczyny kartezjańskie, zupełne przestrzenie metryczne, zwartość, spójność i łukową spójność, homotopię przekształceń i pętli, ściągalność, konstrukcję przestrzeni ilorazowej.

1. Przestrzenie metryczne. Topologia w przestrzeniach metrycznych. Przestrzenie topologiczne. Baza topologii. Wnętrze, domknięcie, brzeg podzbioru przestrzeni topologicznej. Własność Hausdorffa. Przekształcenia ciągłe, równoważne charakteryzacje ciągłości. Homeomorfizmy. Twierdzenie Tietzego o przedłużaniu przekształceń (dla przestrzeni metryzowalnych). Iloczyny kartezjańskie i sumy proste przestrzeni topologicznych. Ośrodkowość.

2. Przestrzenie zwarte. Liczba Lebesgue’a pokrycia. Warunki równoważne zwartości w przestrzeniach metryzowalnych. Zwarte podzbiory przestrzeni euklidesowej. Przekształcenia ciągłe przestrzeni zwartych. Twierdzenie Weierstrassa o osiąganiu kresów. Jednostajna ciągłość. Zbiór Cantora. Twierdzenie Tichonowa o zwartości iloczynu kartezjańskiego przestrzeni zwartych (dowód dla iloczynu skończonego).

3. Przestrzenie spójne. Łukowa spójność. Składowe spójności i składowe łukowej spójności.

4. Konstrukcja przestrzeni ilorazowej. Przyklejanie za pomocą przekształcenia. Przykłady otrzymywania powierzchni przez sklejenia wielokąta.

5. Przestrzenie zupełne. Zupełność przestrzeni funkcji ciągłych. Twierdzenie Banacha o punkcie stałym. Twierdzenie Baire'a. Metryki całkowicie ograniczone - zwartość a zupełność. Twierdzenie Ascoliego-Arzeli.

6. Homotopia przekształceń. Ściągalność przestrzeni. Homotopia pętli. Jednospójność. Grupa podstawowa. Dowód nieściągalności okręgu. Zastosowania: nieistnienie retrakcji dysku na okrąg, Twierdzenie Brouwera w wymiarze 2, dowód Zasadniczego Twierdzenia Algebry.

1. S. Betley, J. Chaber, E. Pol, R. Pol, Topologia I, Skrypt MIMUW, Warszawa 2017.

2. R. Engelking, K. Sieklucki, Wstęp do topologii, PWN, Warszawa 1986.

3. K. Janich, Topologia, PWN, Warszawa 1991.

4. K. Kuratowski, Wstęp do teorii mnogości i topologii, PWN, Warszawa 2004.

5. J. Mioduszewski, Wykłady z topologii. Topologia przestrzeni euklidesowych, Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego,

Katowice 1994

1. Posiada umiejętność wprowadzania topologii w zbiorze przy pomocy zadania metryki, lub rodzin podzbiorów spełniających określone warunki. Umie znajdować domknięcia i wnętrza podzbiorów przestrzeni topologicznych i metrycznych.

2. Umie stosować różne kryteria ciągłości do zbadania, czy zadane przekształcenie jest ciągłe i czy jest homeomorfizmem.

3. Zna sposoby definiowania przestrzeni topologicznych przy pomocy konstrukcji podprzestrzeni, iloczynu kartezjańskiego, przestrzeni ilorazowej i sumy prostej. Rozpoznaje te konstrukcje w przykładach geometrycznych.

4. Potrafi rozpoznać własności zwartości, spójności i łukowej spójności przestrzeni topologicznej i metrycznej. Umie wykorzystać te własności do rozstrzygania czy przestrzenie są homeomorficzne.

5. Zna podstawowe przykłady przestrzeni zwartych, w tym zbiór Cantora i twierdzenia dotyczące zwartości, w tym twierdzenie Tichonowa i twierdzenie Weierstrassa.

6. Potrafi rozstrzygnąć o zupełności przestrzeni metrycznej i zna pojęcie metryzowalności w sposób zupełny. Zna twierdzenie Banacha i twierdzenie Baire’a. Umie konstruować obiekty o specjalnych własnościach przy pomocy Twierdzenie Baire’a.

7. Potrafi rozpoznać kiedy dwa przekształcenia są homotopijne. Odróżnia przestrzenie ściągalne od nieściągalnych. Zna twierdzenie o nieściągalności okręgu i jego zastosowania.

Przedmiot kończy się egzaminem