Computational Mathematics
General data
| Course ID: | 1000-114bMOBa |
| Erasmus code / ISCED: |
11.102
|
| Course title: | Computational Mathematics |
| Name in Polish: | Matematyka obliczeniowa (potok 1) |
| Organizational unit: | Faculty of Mathematics, Informatics, and Mechanics |
| Course groups: |
(in Polish) Przedmioty obieralne dla II-III roku bioinformatyki Obligatory courses for 2nd grade JSEM Obligatory courses for 2rd grade Mathematics |
| ECTS credit allocation (and other scores): |
(not available)
|
| Language: | Polish |
| Type of course: | obligatory courses |
| Prerequisites (description): | (in Polish) Oczekuje się dobrej znajomości zagadnień ujętych w sylabusie przedmiotu Wstęp do Informatyki I. |
| Short description: |
In the course we present several methods of finding usually approximate solutions to basic mathematical problems when finding exact solutions is either impossible or impractical. The course includes: elements of error analysis, polynomial and spline interpolation, elements of approximation, quadrature rules, Gauss quadratures, numerical solutions of systems of linear equations, real roots of the equations, numerical eigenproblem. |
| Full description: |
1/ Elements of fl rounding error analysis 2/Interpolation 2.1 Polynomial interpolation - specifying Lagrange interpolation problem - existence and uniqueness of a solution - finite differences algorithm - approximation error estimates 2.2 Spline approximation - definition of spline spaces - linear splines - cubic splines 3/Approximation 3.1 approximation in Hilbert spaces - existence and uniqueness - algorithms including the Gram-Schmidt process - orthogonal polynomials - properties and application to the polynomial approximation problem -Chebyshev polynomials and their properties - Linear Least Square problem as a special case of an approximation problem 3.2 Uniform approximation - (optional if time permits) 4/Numerical integration 4.1 Interpolation quadratures -Gauss quadratures 4.2 Quadrature rules: trapezoidal and Simpson rules 5/Numerical methods of solving system of algebraic equations - LU decompositions with partial pivoting - QR orthogonal decomposition: Housholder method - condition of the matrices and their influence on rounding error analysis of LU decomposition - an application of QR factorization of M x N matrix to Linear Least Square problems 6/ Roots of a nonlinear equation - bisection method - Newton method - Secant method - Banach iteration method - order of convergence 7/Numerical Eigenproblem (optional if time permits) - Power Method - Inverse Power Method |
| Bibliography: |
David Kincaid and Ward Cheney, Numerical analysis. Mathematics of scientific computing. 2nd ed., Brooks/Cole Publishing Co., Pacific Grove, CA, 1996. |
| Learning outcomes: |
(in Polish) Wiedza i umiejętności: 1. Zna pojęcie wykładniczego rzędu zbieżności metody rozwiązywani równania liniowego; 2. Zna metody bisekcji, Newtona i siecznych rozwiązywania równania nieliniowego; wie przy jakich założeniach metody są zbieżne; zna metodę Newtona rozwiązywania układu równań nieliniowych; zna twierdzenie o lokalnej zbieżności tej metody 3. Zna podstawowe własności arytmetyki zmiennopozycyjnej w komputerze; wie co to uwarunkowanie zadania ze względu na zaburzenia danych w arytmetyce zmiennopozycyjnej; zna pojęcie numerycznej poprawności i numerycznej stabilności algorytmu 4. Zna algorytm i koszt metod bezpośredniego rozwiązywania układów równań liniowych poprzez rozkład LU, metodę Choleskiego, poprzez rozkład QR uzyskany metodą Householdera. 5. Zna definicje i podstawowe własności norm wektorowych i macierzowych; zna wzory na podstawowe wzory na normy p-te wektorowe i macierzowe; zna pojęcie współczynnika uwarunkowania macierzy i jego związek z błędami zaokrągleń w algorytmach bezpośrednich rozwiązywania układów równań liniowych 6. Zna definicję liniowego zadania najmniejszych kwadratów (LZNK); wie co oznacza, że LZNK jest regularne; zna twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności regularnego LZNK (RLZK); wie jak rozwiązać RLZNK znając rozkład QR macierzy; zna algorytm Householdera znajdowania rozkładu QR macierzy kolumnami regularnej; zna metodę rozwiązywania RLZNK poprzez sprowadzenie go układu liniowego równań normalnych 7. Wie co to numeryczne symetryczne zadanie własne; zna algorytm i jego koszt sprowadzania macierzy symetrycznej do macierzy podobnej trójdiagonalnej przy pomocy przekształceń Householdera 8. Zna metodę potęgową i odwrotną potęgową; wie przy jakich założeniach metody te są zbieżne 9. Wie co to zadanie interpolacji Lagrange; zna twierdzenie o tym kiedy takie zadanie ma jednoznaczne rozwiązanie; zna pojęcie bazy Lagrange'a wielomianów określonego stopnia; zna definicję w własności różnicy dzielonej; zna algorytmy Newtona i różnic dzielonych znajdowania współczynników wielomianu interpolacyjnego Lagrange'a w bazie Newtona; zna wzór na błąd interpolacji Lagrange'a; wie co to optymalne węzły interpolacji; potrafi oszacować błąd interpolacji znając oszacowania odpowiednich pochodnych funkcji 10. Wie co to zadanie interpolacji Hermite'a; zna twierdzenie o tym kiedy takie zadanie ma jednoznaczne rozwiązanie; zna definicję i własności uogólnionej różnicy dzielonej z węzłami wielokrotnymi; zna algorytm różnic dzielonych znajdowania współczynników wielomianu interpolacyjnego Hermite'a w bazie Newtona; zna wzór na błąd interpolacji Hermite'a; 11. Zna definicję przestrzeni splajnów dla ustalonych węzłów; w szczególności wie co to przestrzeń splajnów liniowych i przestrzeń splajnów kubicznych; wie jak znaleźć splajn interpolacyjny liniowy i zna błąd interpolacji splajnami liniowymi; zna zadanie interpolacji splajnami kubicznymi z różnymi warunkami brzegowymi; zna algorytm znajdowania splajnu kubicznego z warunkami brzegowymi naturalnymi; zna wzór na błąd interpolacji splajnami kubicznymi naturalnymi; zna twierdzenie Holladaya. 12. Wie co to są kwadratury; zna definicję rzędu kwadratury; zna definicję kwadratury interpolacyjnej; zna wzór na błąd kwadratury interpolacyjnej; zna wzór na kwadratury złożone trapezów i Simpsona; zna oszacowanie błędu kwadratury trapezów; wie jak skonstruować kwadraturę Gaussa; zna twierdzenie o rzędzie kwadratury Gaussa i o dodatniości jej współczynników; zna twierdzenie o zbieżności kwadratur Gaussa Kompetencje społeczne: 1. Rozumie znaczenie matematyki obliczeniowej jako narzędzia służącego konstrukcji i analizy metod obliczeniowych pozwalających rozwiązywać zadania powstające przy modelowaniu zjawisk przyrody i techniki |
Copyright by University of Warsaw.
