Rachunek prawdopodobieństwa I (potok 1)

obowiązkowe

Oczekuje się dobrej znajomości zagadnień ujętych w sylabusie przedmiotu Analiza matematyczna II.1.

Wykład jest wprowadzeniem do podstawowych pojęć i metod rachunku prawdopodobieństwa. Omawiane są, w szczególności, aksjomatyka Kołmogorowa, podstawowe schematy probabilistyczne, zmienne losowe, ich rozkłady, parametry rozkładów, niezależność, warunkowe wartości oczekiwane w przypadku dyskretnym i ciągłym, zbieżność ciągów zmiennych losowych; podstawowe twierdzenia graniczne: twierdzenie Poissona, słabe i mocne prawo wielkich

liczb, orientacyjnie twierdzenie de Moivre'a-Laplace'a.

1. Aksjomatyka Kołomogorowa. Własności prawdopodobieństwa jako miary.

2. Podstawowe schematy probabilistyczne: prawdopodobieństwo ,,klasyczne’’ dyskretne, geometryczne.

3. Prawdopodobieństwo warunkowe. Wzór Bayesa.

4. Niezależność zdarzeń. Schemat Bernoulliego. Lemat Borela-Cantellego.

5. Zmienne losowe (jedno- i wielowymiarowe) i ich rozkłady, dystrybuanta, rozkłady skokowe, rozkłady ciągłe, gęstości rozkładów. Parametry rozkładów: wartość oczekiwana, wariancja, kowariancja. Nierówność Czebyszewa.

6. Niezależność sigma-ciał, niezależność zmiennych losowych. Rozkład sumy niezależnych zmiennych losowych.

7. Różne rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych. Twierdzenie Poissona. Słabe prawo wielkich liczb. Mocne prawo wielkich liczb. Sformułowanie twierdzenia de Moivre'a-Laplace'a.

8. Warunkowa wartość oczekiwana w przypadku zmiennych losowych dyskretnych i zmiennych o łącznym rozkładzie ciągłym.

1. P. Billingsley, Prawdopodobieństwo i miara, PWN, Warszawa 1987.

2. A. Borowkow, Rachunek prawdopodobieństwa, PWN, Warszawa 1975.

3. W. Feller, Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa, tom I- II, PWN, Warszawa 1975 i późniejsze wydania.

4. J. Jakubowski, R. Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, SCRIPT, Warszawa 2010.

5. A. Osękowski, Rachunek Prawdopodobieństwa I, http://dydmat.mimuw.edu.pl/rachunek-prawdopodobienstwa-i.

6. A. Shiryaev, Probability-1, Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, New York 2016.

Student:

1. Zna pojęcie przestrzeni probabilistycznej i rozumie jej rolę w matematycznym opisie zjawisk losowych.

2. Potrafi rozwiązywać zadania kombinatoryczne dotyczące zliczania.

3. Zna pojęcie prawdopodobieństwa warunkowego. Potrafi stosować wzór na prawdopodobieństwo całkowite i wzór Bayesa.

4. Zna pojęcie niezależności zdarzeń i sigma-ciał. Rozumie różnicę pomiędzy niezależnością rodziny zdarzeń, a niezależnością parami.

5. Zna pojęcie zmiennej losowej i rozkładu. Potrafi odczytać z dystrybuanty podstawowe własności rozkładu.

6. Przy użyciu różnych technik wyznacza rozkłady zmiennych losowych, bada ich niezależność.

7. Zna podstawowe przykłady rozkładów dyskretnych i ciągłych. Potrafi podać przykłady zjawisk losowych, które mogą być modelowane przy pomocy takich rozkładów.

8. Zna pojęcie wartości oczekiwanej, wariancji i kowariancji. Potrafi obliczać parametry zadanych zmiennych losowych. Zna związek między niezależnością, a kowariancją.

9. Potrafi rozstrzygać o zbieżności ciągów zmiennych losowych. Zna relacje między różnymi rodzajami zbieżności (prawie na pewno, według prawdopodobieństwa, w L^p) i potrafi je zilustrować przykładami.

10. Potrafi sformułować Mocne Prawo Wielkich Liczb i zna przykłady zastosowań.

11. Zna twierdzenie de Moivre'a-Laplace'a i stosuje je do przybliżania prawdopodobieństw pewnych zdarzeń.

12. Zna pojęcie warunkowej wartości oczekiwanej i potrafi ją znaleźć.

Ocena końcowa wystawiana na podstawie punktów za ćwiczenia, punktów z kolokwium oraz egzaminu.