Topologia II

Homotopia przekształceń. Homotopijna równoważność. Topologia zwarto-otwarta w przestrzeniach funkcyjnych i interpretacja klas homotopii jako składowych łukowych w przestrzeniach odwzorowań. Grupa podstawowa przestrzeni topologicznej i jej własności - funktorialność, zależność od wyboru punktu bazowego (2 wykłady).

Przekształcenia nakrywające. Morfizmy nakryć. Podnoszenie przekształceń, podnoszenie homotopii. Monomorfizm grup podstawowych indukowany przez nakrycie. Działanie grupy na przestrzeni topologicznej. Nakrycia regularne. Nakrycie uniwersalne, istnienie nakrycia o zadanej grupie podstawowej (szkic konstrukcji). Klasyfikacja nakryć nad zadaną przestrzenią. (4 wykłady).

Kompleksy łańcuchowe i ich homologie, homotopia łańcuchowa. Homologie singularne przestrzeni topologicznych, odwzorowania indukowane przez przekształcenia ciągłe. Aksjomaty toerii homologii. Ciąg Mayera-Vietorisa. Obliczenia grup homologii sfer i powierzchni. Przykłady zastosowań: nieistnienie retrakcji kuli na sferę, twierdzenie Brouwera o punkcie stałym, twierdzenie Jordana o rozcinaniu, twierdzenie o zachowaniu obszaru. Twierdzenie Hurewicza w wymiarze 1. (8 wykładów).

1.Zna definicję homotopii przekształceń i homotopijnej równoważności i rozumie czym jest homotopijna klasyfikacja przestrzeni. Zna definicję grupy podstawowej przestrzeni topologicznej z wyróżnionym punktem bazowym. Umie wykorzystywać własność funktorialności grupy podstawowej .

2.Zna definicje przestrzeni nakrywającej i morfizmu nakryć. Zna przykłady nakryć. Rozumie na czym polega własność podnoszenia przekształceń i homotopii. Zna pojęcia nakrycia regularnego i nakrycia uniwersalnego.

3.Zna pojęcie kompleksu łańcuchowego, homologii kompleksu łańcuchowego i homotopii łańcuchowej. Zna pojęcie grup syngularnych oraz rozumie czym są homorfizmy grup homologii indukowane przez funkcje ciągle.

4.Zna aksjomaty teorii homologii i ciąg Mayera - Vietorisa. Potrafi wyliczyć grupy homologii sfer, powierzchni, rozmaitości orientowalnych i nieorientowanych (najwyższy wymiar) i zawieszenia. Wie, ze grupa homologii w wymiarze 1 jest abelianizacją grupy podstawowej i umie z tego faktu korzystać.