Analiza funkcjonalna

1. Przestrzenie unormowane, przykłady przestrzeni ciągowych i przestrzeni funkcyjnych. Twierdzenie Mazura o oddzielaniu zbiorów wypukłych i twierdzenie Hahna-Banacha.

2. Przestrzenie Banacha, przestrzenie Banacha ograniczonych operatorów liniowych, przestrzenie dualne i operatory sprzężone. Operatory zwarte i twierdzenie Riesza-Schaudera o spektrum zwartego endomorfizmu przestrzeni Banacha.

3. Przestrzenie Hilberta, rzuty ortogonalne, bazy ortonormalne w ośrodkowych przestrzeniach Hilberta, układ trygonometryczny. Postać ograniczonych funkcjonałów liniowych na przestrzeni Hilberta, dowód twierdzenia Radona- Nikodyma, przestrzenie dualne do L^p(mu).

4. Sprzężenie ograniczonego endomorfizmu przestrzeni Hilberta, operatory unitarne i samosprzężone, twierdzenie spektralne dla zwartych operatorów samosprzężonych.

5. Twierdzenie Banacha-Steinhausa, twierdzenia Banacha o odwzorowaniu otwartym i wykresie domkniętym.

6. Słaba oraz *-słaba zbieżność w przestrzeniach Banacha.

Student:

1. Widzi związki analizy funkcjonalnej z innymi działami matematyki.

2. Zna podstawowe pojęcia i przykłady analizy funkcjonalnej, twierdzenie Hahna-Banacha oraz twierdzenie Mazura o oddzielaniu.

3. Zna twierdzenie Riesza-Schaudera o spektrum endomorfizmu zwartego, twierdzenie Banacha-Steinhausa oraz twierdzenia o odwzorowaniu otwartym i wykresie domkniętym.

3. Zna podstawowe własności przestrzeni Hilberta, zna dowód twierdzenia Radona-Nikodyma wykorzystujący przestrzenie Hilberta, zna pojęcia operatorów unitarnych i samosprzężonych oraz twierdzenie spektralne dla zwartych operatorów samosprzężonych.

4. Zna i rozumie pojęcie słabej oraz *-słabej zbieżności w przestrzeniach Banacha.