Aproksymacja i złożoność

A. Aproksymacja wielomianowa

1. Ogólne postawienie problemu, charakteryzacja elementów najlepszej aproksymacji

2. Aproksymacja w przestrzeniach Hilberta

3. Wielomiany algebraiczne i trygonometryczne, twierdzenie Weierstrassa

4. Aproksymacja trygonometryczna: operatory Fouriera i Fejera, twierdzenie Korowkina

5. Aproksymacja jednostajna: przestrzenie Haara, twierdzenie o alternansie

6. Twierdzenie o letargu

7. Twierdzenia Jacksona i Bernsteina

B. Złozonosc obliczeniowa

1. Ogólny model obliczeniowy: informacja, bład i koszt algorytmu, złozonosc problemu

2. Przypadek pesymistyczny: promien informacji, optymalnosc algorytmów liniowych

3. Splajny i algorytmy splajnowe

4. Algorytmy adaptacyjne

5. Przypadek asymptotyczny

6. Przypadek randomizacyjny

7. Złozonosc wybranych problemów

Wiedza i umiejetnosci:

1. Wie czym zajmuje sie teoria aproksymacji i jakie sa podstawowe problemy.

2. Zna twierdzenia dotyczace istnienia i jednoznacznosci elementów najlepszej aproksymacji oraz aproksymacji w przestrzeniach Hilberta i funkcji ciagłych.

3. Operuje pojeciami z zakresu aproksymacji trygonometrycznej i wielomianowej.

4. Zna twierdzenie o letargu i rozumie jego konsekwencje praktyczne i teoretyczne.

5. Rozumie twierdzenia o błedzie aproksymacji w zaleznosci od regularnosci funkcji.

6. Zna modele złozonosci obliczeniowej, odróznia koszt algorytmu od złozonosci zadania. Wie co to jest bład i koszt algorytmu w przypadku pesymistycznym.

7. Rozumie problem adaptacji i zna optymalne własnosci algorytmów splajnowych.

8. Zna przypadek asymptotyczny i jego zwiazki z przypadkiem pesymistycznym.

9. Rozumie istote algorytmów randomizacyjnych, ich zalety i wady.

10. Potra przeprowadzic analize złozonosci przykładowych problemów.

Kompetencje społeczne:

1. Rozumie znaczenie aproksymacji w pracy badawczej w naukach przyrodniczych,

2. Rozumie koniecznosc badania złozonosci obliczeniowej w rozwiazywaniu problemów rzeczywistych.