Geometria algebraiczna

fakultatywne

Algebra przemienna 1000-135ALP
Metody algebraiczne geometrii i topologii 1000-135MGT

Algebra I (potok I) 1000-113aAG1a

Wymagane: Algebra przemienna, Metody algebraiczne geometrii i topologii, zalecane: Geometria różniczkowa, Algebra 2, Topologia 2, Funkcje analityczne. Inne przedmioty fakultatywne związane z wykładem: Topologia algebraiczna, Analiza zespolona, Geometria różniczkowa 2, Grupy i algebry Liego.

Przedmiot stanowi wprowadzenie do geometrii algebraicznej. Na wykładzie zostaną wprowadzone rozmaitości algebraiczne i omówione zostaną ich podstawowe własności geometryczne. Pod koniec wykładu zostaną podane przykłady zastosowań geometrii algebraicznej (w zależności od preferencji wykładowcy).

Rozmaitości afiniczne nad ciałem algebraicznie domkniętym. Nullstellensatz, topologia Zariskiego, pierścień (oraz snop) funkcji regularnych, rozmaitości nieprzywiedlne, ciało funkcji wymiernych na rozmaitości. Odwzorowania rozmaitości afinicznych, podrozmaitości, produkt rozmaitości, (dodatkowo: równoważność

kategorii rozmaitości afinicznych i skończenie generowanych algebr bez elementów nilpotentnych, ponadto afiniczne rozmaitości toryczne). (3--4 wykłady)

Rozmaitości rzutowe. Przestrzeń rzutowa, wielomiany jednorodne, rozmaitości rzutowe i stoźki nad nimi.

Gradacja na pierścieniu wielomianów, algebry z gradacją, ideały jednorodne, pierścień współrzędnych jednorodnych rozmaitości rzutowej. Odwzorowania Segre i Veronese. Ponadto: pokrycie afiniczne przestrzeni rzutowej, snop funkcji regularnych - funkcje globalne na rozmaitości rzutowej są stałe. (2--3 wykłady)

Podstawowe własności rozmaitości algebraicznych. Wymiar rozmaitości nieprzywiedlnej jako długość maksymalnego ciągu ideałów pierwszych i jako wymiar przestępny ciała funkcji wymiernych. Przestrzeń styczna Zariskiego,gładkość rozmaitości, kryterium jakobianowe (ponadto różniczkowania i formy

różniczkowe). Całkowite domknięcie pierścienia, normalizacja, gładkość krzywych normalnych. Ponadto: rozdmuchanie w punkcie, biwymierne przekształcenia rozmaitości. (5--6 wykładów)

Przykłady badania własności geometrycznych (i własności arytmetycznych) rozmaitości algebraicznych. Krzywe algebraiczne. Linie na powierzchniach stopnia 2 i 3 w P^3. (2--4 wykłady)

D. Eisenbud, J. Harris, The geometry of schemes, Graduate Texts in Mathematics 197, Springer-Verlag, 2000.

R. Hartshorne, Algebraic geometry, Graduate Texts in Mathematics 52, Springer-Verlag, 1977.

K. Hulek, Elementary algebraic geometry, Student Mathematical Library 20, American Mathematical Society, 2003.

D. Mumford, Algebraic geometry I: Complex projective varieties, Classics in Mathematics, Springer-Verlag, 1995.

M. Reid, Undergraduate algebraic geometry, London Mathematical Society Student Texts 12, Cambridge University Press, 1988.

I. R. Shafarevich, Basic algebraic geometry 1, 2, 2nd ed., Springer-Verlag, 1994.

Absolwent przedmiotu powinien:

• umieć sformułować pojęcia wchodzące do programu oraz wyjaśnić je na podstawie przykładów;

• znać podstawowe twierdzenia wchodzące do programu oraz podać wybrane dowody;

Przedmiot będzie zaliczany na podstawie wyników z ćwiczeń oraz egzaminu końcowego. Szczegółowe zasady zaliczenia przedmiotu są podane w informacjach dotyczących zajęć w odpowiednim roku akademickim.