Serwisy internetowe Uniwersytetu Warszawskiego Nie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Metody obliczeniowe w finansach

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-135MOF Kod Erasmus / ISCED: (brak danych) / (brak danych)
Nazwa przedmiotu: Metody obliczeniowe w finansach
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty fakultatywne dla studiów 2 stopnia na matematyce
Przedmioty fakultatywne na matematyce
Punkty ECTS i inne: 6.00
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: angielski
Rodzaj przedmiotu:

fakultatywne

Skrócony opis:

Celem wykładu jest przedstawienie podstawowych metod wyceny instrumentów finansowych. Na wykładzie będą omawiane metody drzewa dwumianowych, metody Monte Carlo oraz numeryczne rozwiązania równania Blacka-Scholesa. Wykład będzie zawierał niezbędne wiadomości teoretyczne na temat zbieżności schematów numerycznych rozwiązywania stochastycznych równań Ito, podstawowe wiadomości o analitycznych własnościach równań parabolicznych oraz o zbieżności schematów numerycznych dla tych równań. Teoretyczny materiał wykładu będzie ilustrowany przykładami zastosowania omawianych metod do wyceny konkretnych instrumentów finansowych.

Pełny opis:

1. Numeryczne metody wyceny instrumentów fiansowych. Drzewa dwumianowe, metody Monte Carlo, numeryczne rozwiązania równania Blacka-Scholesa.

2. Wprowadzenie do metod Monte Carlo. Generowanie liczb pseudo-losowych. Ciągi o małej dyskrepancji (Haltona, Sobola) i metoda Quasi Monte Carlo. Generatory o rozkładzie jednostajnym. Generatory innych rozkładów, metody znajdowania innych rozkładów z rozkładu jednostajnego: metoda odwracania dystrybuanty, metoda akceptacji-odrzucenia, metoda przekształceń.

3. Rozwiązanie stochastycznych równań Ito metodą dyskretyzacji: schematy Eulera i Milsteina. Słaba i silna zbieżność rozwiązań. Rząd zbieżności. Dowody zbieżności dla schematu Eulera. Informacje o zbieżności schematu Milsteina.

4. Metody redukcji wariancji: zmienne antytetyczne, zmienne kontrolne, losowanie istotne. Przykład: obliczanie VaR portfela inwestycyjnego.

5. Przykłady wykorzystania metody Monte Carlo: opcje azjatyckie, opcje barierowe – metoda mostu Browna, wyznaczanie współczynników wrażliwości (greckich parametrów).

6. Równanie różniczkowe Blacka-Scholesa i jego matematyczna analiza. Definicja liniowego operatora eliptycznego i parabolicznego. Zasada maksimum. Pierwszy, drugi i trzeci problem brzegowy dla równań parabolicznych. Dowód istnienia i jednoznaczności rozwiązania dla pierwszego problemu brzegowego. Istnienie rozwiązań nieujemnych. Zasada porównawcza.

7. Metoda różnic skończonych dla liniowych równań parabolicznych. Schematy jawny, niejawny i Crank-Nicolson. Stabilność schematu – warunek CFL. Dowody aproksymacji i zbieżności schematów. Rząd zbieżności. Problemy generowane przez występowanie pierwszych pochodnych: oscylacje rozwiązania, schematy „upwind”. Rozwiązywanie równania Blacka-Scholesa w naturalnych zmiennych.

8. Przykłady wyceny przez rozwiązanie równania Black-Scholesa: opcje waniliowe -- uniwersalny schemat, opcje barierowe – problem warunków brzegowych, opcja azjatyckie i opcje lookback. Schematy w dwóch zmiennych przestrzennych -- redukcja wymiaru dla opcji azjatyckich i lookback.

9. Informacja o innych metodach. Opcje amerykańskie: zagadnienie ze swobodną powierzchnią i metoda kary. Metoda elementu skończonego.

Literatura:

1. Y. Achdou, O. Pironneau. Computational Methods for Option Pricing, SIAM 2005.

2. S. Asmussen, P. Glynn. Stochastic Simulation: Algorithms and Analysis, Springer 2007

3. L. C. Evans. Równania Różniczkowe Cząstkowe, PWN, Warszawa 2002.

Efekty kształcenia:

Wiedza i umiejętności:

1. Potrafi wykorzystać metody Monte Carlo do obliczania cen instrumentów finansowych, umie generować próby dla wielu ważnych rozkładów (dyskretny, jednostajny, normalny, t-Studenta), zna metody tworzenia próby o zadanym rozkładzie z próby o rozkładzie jednostajnym, umie generować ciągi o małej dyskrepancji;

2. Umie rozwiązać numerycznie proste równania stochastyczne wykorzystując schematy Eulera lub Milsteina, zna rząd zbieżności tych schematów i rozumie jak znajomość rzędu zbieżności wpływa na zachowanie rozwiązań przybliżonych;

3. Zna podstawowe metody redukcji wariancji i umie je praktycznie wykorzystać, portafi wprowadzić zmienne antytetyczne do algorytmu Monte Carlo, umie obliczyć VaR metodą symulacji Monte Carlo, umie obliczyć ceny opcji waniliowych oraz wielu opcji egzotycznych (a także ich współczynniki wrażliwości) metodą Monte Carlo;

4. Rozumie matematyczne własności rozwiązań równań parabolicznych, wie jak wygląda poprawnie postawione zagadnienie początkowo-brzegowe dla tych równań, zna twierdzenia o istnieniu rozwiązań tych równań, umie napisać podstwowe schematy różnic skończonych służące rozwiązywaniu równań parabolicznych, zna warunki zbieżności tych schematów i umie te warunki wykorzystać w praktyce, potrafi obliczyć ceny wielu (także egzotycznych) instrumentów finansowych wykorzystując metodę różnic skończonych;

5. Zna związek wyceny opcji amerykańskich z zagadnieniem ze swobodną powierzchnią, umie rozwiązać proste przypadki takiego zagadnienia.

Kompetencje społeczne:

1. Rozumie znaczenie metod numerycznych w praktyce rynków finansowych;

2. Rozumie znaczenie wiedzy z analizy numerycznej w rozwiązywaniu realnych problemów.

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2018/19" (zakończony)

Okres: 2019-02-16 - 2019-06-08
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Andrzej Palczewski
Prowadzący grup: Piotr Kowalczyk, Andrzej Palczewski
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2019/20" (jeszcze nie rozpoczęty)

Okres: 2020-02-17 - 2020-06-10

Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Andrzej Palczewski
Prowadzący grup: Piotr Kowalczyk, Andrzej Palczewski
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.