Teoria miary

matematyka

fakultatywne

Przygotowanie odpowiadające pełnemu kursowi analizy, np. odpowiadające wykładom Analiza I i Analiza II.

w sali

Wykład teoria miary jest wykładem do zrozumienia którego nie jest potrzebny żaden wykład spoza listy wykładów obowiązkowych na pierwszym i drugim roku studiów. Zawarte w nim treści systematyzują i rozszerzają elementarna wiedze na temat teorii miary nabyta na zajęciach z analizy matematycznej na drugim roku studiów, w szczególności treści zawarte w programie analizy matematycznej zostaną przytoczone informacyjnie, a w razie potrzeby dokładniej przypomniane na ćwiczeniach. Celem wykładu jest umożliwienie lepszego zrozumienia istotnych pojęć i narzędzi matematycznych używanych miedzy innymi w równaniach cząstkowych, analizie funkcjonalnej, rachunku prawdopodobieństwa, układach dynamicznych i wielu innych działach matematyki, z drugiej zaś strony przedstawienie interesującej teorii matematycznej.

Założenia: wykład teoria miary jest wykładem do zrozumienia którego nie jest potrzebny żaden wykład spoza listy wykładów obowiązkowych na pierwszym i drugim roku studiów. Zawarte w nim treści systematyzują i rozszerzają elementarna wiedzę na temat teorii miary nabyta na zajęciach z analizy matematycznej na drugim roku studiów, w szczególności treści zawarte w programie analizy matematycznej zostaną przytoczone informacyjnie, a w razie potrzeby dokładniej przypomniane na ćwiczeniach. Celem wykładu jest umożliwienie lepszego zrozumienia istotnych pojęć i narzędzi matematycznych używanych miedzy innymi w równaniach cząstkowych, analizie funkcjonalnej, rachunku prawdopodobieństwa, układach dynamicznych i wielu innych działach matematyki, z drugiej zaś strony przedstawienie interesującej teorii matematycznej.

Program wykładu Teoria Miary:

1. Miara zewnętrzna i jej własności, pojecie zbioru mierzalnego, sigma-algebra zbiorów mierzalnych .

2. Definicje i własności: miary zewnętrznej: regularnej, borelowskiej, borelowsko regularnej, Radona, obcięcia miary .

3. Aproksymacja względem miary zewnętrznej Radona zbioru zbiorami zwartymi i otwartymi, charakteryzacja miary borelowskiej w terminach zbiorów o dodatniej odległości .

4. Funkcje mierzalne ich własności, twierdzenia Luzina i Jegorowa.

5. Zbieżności ciągów funkcji mierzalnych, w mierze i prawie wszędzie oraz relacje miedzy nimi.

6. Całkowalność i sumowalność, definicja całki dla funkcji nieujemnych i ogólnie, całka Buchnera.

7. Całka i przejścia graniczne pod nią: Lemat Fatou, lemat o zbieżności monotonicznej, twierdzenie leb. o zbieżności zmajoryzowanej, jednostajna całkowalność i tw Vitaliego.

8. Miara ze znakiem, miary zespolone, miary wektorowe, definicja podstawowe własności, rozkład Hahna, rozkład Jordana, wahanie całkowite miary, skończone miary Radona jako przestrzeń Banacha.

9. Twierdzenia pokryciowe Vitaliego i Besicovitch'a .

10. Pochodna Radona Nikodyma (dla miar Radona) i jej charakteryzacja w terminach granic ilorazów miar kul, twierdzenie Radona Nikodyma, rozkład kanoniczny na część absolutnie ciągła i singularna punkty Leb. funkcji lokalnie sumowalnej, aproksymatywne granice, aproksymatywna ciągłość.

11. Miary produktowe i twierdzenie Fubiniego.

12. Twierdzenie o plasterkowaniu miar i jego zastosowania.

13. Miara Hausdorffa i tożsamość isodiametryczna.

14. Funkcja maksymalna, twierdzenie Hardy-Littlewooda .

15. Twierdzenie Riesza o reprezentacji.

16. Słaba zbieżność i zwartość dla ograniczonych miar Radona

1. L. Evans R. Gariepy: Measure Theory and Fine Properties of Function, CRC Press, 1992

2. H. Federer Geometric: Measure Theory, Springer-Verlag, New York, 1969.

Wiedza i umiejętności:

1. Wie co to jest i umie zastosować pojęcia miary zewnętrznej, zbioru mierzalnego, sigma-algebry zbiorów mierzalnych i zna ich własności.

2. Zna definicje i własności: miary zewnętrznej: regularnej, borelowskiej, borelowsko regularnej, Radona, obcięcia miary.

3. Wie co to jest i umie zastosować aproksymację względem miary zewnętrznej Radona zbioru zbiorami zwartymi i otwartymi. Zna charakteryzację miary borelowskiej w terminach zbiorów o dodatniej odległości.

4. Wie co to są funkcje mierzalne i zna ich własności, zna wierdzenia Łuzina i Jegorowa i umie je zastosować.

5. Zna pojęcia zbieżności ciągów funkcji mierzalnych w mierze i prawie wszędzie oraz relacje między nimi.

6. Wie co to jest całkowalność i sumowalność, zna definicję całki dla funkcji nieujemnych i ogólnie, zna całkę Bochnera i umie ją zastosować.

7. Zna i umie stosować twierdzenia o przejściu granicznym pod znakiem całki: Lemat Fatou, lemat o zbieżności monotonicznej, twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności zmajoryzowanej. Wie co to jest jednostajna całkowalność i zna twierdzenie Vitaliego.

8. Zna pojęcia miary ze znakiem, miar zespolonych, miar wektorowych, zna ich podstawowe własności. Zna rozkłady Hahna, Jordana. Wie co to jest wahanie całkowite miary i umie tę wiedzę zastosować. Zna przestrzeń Banacha skończonych miar Radona.

9. Zna i umie stosować twierdzenia pokryciowe Vitaliego i Besicovitcha.

10. Zna pochodną Radona Nikodyma (dla miar Radona) i jej charakteryzację w terminach granic ilorazów miar kul, zna twierdzenie Radona Nikodyma. Zna rozkład kanoniczny na część absolutnie ciągła i singularną. Zna i umie stosować pojęcia punktów Lebesgue'a funkcji lokalnie sumowalnej. Zna aproksymatywne granice i aproksymatywną ciągłość.

11. Zna i umie stosować miary produktowe i twierdzenie Fubiniego.

12. Wie co to jest twierdzenie o plasterkowaniu miar i zna jego zastosowania.

13. Wie co to jest i umie stosować miarę Hausdorffa i tożsamość izodiametryczną.

14. Poznaje pojęcie funkcji maksymalnej twierdzenie Hardy-Littlewooda.

15. Zna i umie stosować twierdzenie Riesza o reprezentacji.

16. Wie co to jest i umie stosować pojęcia słabej zbieżności i zwartości dla ograniczonych miar Radona.

Kompetencje społeczne:

1. Rozumie znaczenie teorii miary jako jednego z podstawowych narzędzi nieodzownego do rozwoju analizy matematycznej, probabilistyki ze statystyką oraz modelowania matematycznego.

egzamin