Uniwersytet Warszawski, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki - Centralny System Uwierzytelniania
Strona główna

Wstęp do analizy stochastycznej

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-135WAS
Kod Erasmus / ISCED: 11.193 Kod klasyfikacyjny przedmiotu składa się z trzech do pięciu cyfr, przy czym trzy pierwsze oznaczają klasyfikację dziedziny wg. Listy kodów dziedzin obowiązującej w programie Socrates/Erasmus, czwarta (dotąd na ogół 0) – ewentualne uszczegółowienie informacji o dyscyplinie, piąta – stopień zaawansowania przedmiotu ustalony na podstawie roku studiów, dla którego przedmiot jest przeznaczony. / (0541) Matematyka Kod ISCED - Międzynarodowa Standardowa Klasyfikacja Kształcenia (International Standard Classification of Education) została opracowana przez UNESCO.
Nazwa przedmiotu: Wstęp do analizy stochastycznej
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty fakultatywne dla studiów 2 stopnia na matematyce
Przedmioty fakultatywne na matematyce
Przedmioty obieralne na studiach drugiego stopnia na kierunku bioinformatyka
Punkty ECTS i inne: 6.00 Podstawowe informacje o zasadach przyporządkowania punktów ECTS:
  • roczny wymiar godzinowy nakładu pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się dla danego etapu studiów wynosi 1500-1800 h, co odpowiada 60 ECTS;
  • tygodniowy wymiar godzinowy nakładu pracy studenta wynosi 45 h;
  • 1 punkt ECTS odpowiada 25-30 godzinom pracy studenta potrzebnej do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się;
  • tygodniowy nakład pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się pozwala uzyskać 1,5 ECTS;
  • nakład pracy potrzebny do zaliczenia przedmiotu, któremu przypisano 3 ECTS, stanowi 10% semestralnego obciążenia studenta.

zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: angielski
Rodzaj przedmiotu:

fakultatywne

Założenia (lista przedmiotów):

Rachunek prawdopodobieństwa II 1000-135RP2

Założenia (opisowo):

Student powinien znać podstawy rachunku prawdopodobieństwa, takie jak rozkład

zmiennej losowej, zbieżności rozkładów, rozkłady wielowymiarowe, warunkowa wartość oczekiwana.

Skrócony opis:

Podstawowe własności procesu Wienera, martyngałów z czasem ciągłych, martyngałów lokalnych, semimartyngałów. Wahanie kwadratowe semimartyngałów ciągłych i twierdzenie Dooba-Meyera. Całka Itô i jej podstawowe własności. Wzór Itô. Twierdzenie Lévy’ego o reprezentacji, zamiana miary, twierdzenie Girsanowa. Mocne i słabe rozwiązania równań stochastycznych. Związki równań stochastycznych z równaniami o pochodnych cząstkowych.

Pełny opis:

1. Podstawowe własności procesu Wienera i martyngałów z czasem ciągłym.

2. Elementy ogólnej teorii procesów w zakresie niezbędnym dla potrzeb wykładu.

3. Martyngały lokalne i semimartyngały. Wahanie kwadratowe martyngałów ciągłych i martyngałów lokalnych,

twierdzenie Dooba-Meyera.

4. Całka Stieltjesa i całka izometryczna Paleya-Wienera.

5. Całka stochastyczna Itô względem procesu Wienera. Uogólnienie: całka stochastyczna względem

semimartyngałów ciągłych.

6. Podstawowe własności całki stochastycznej: całkowanie przez podstawienie i całkowanie przez części.

7. Wzór Itô. Wahanie kwadratowe dla całki stochastycznej.

8. Twierdzenie Lévy’ego o reprezentacji, zamiana miary, twierdzenie Girsanowa.

9. Mocne rozwiązania stochastycznych równań różniczkowych. Istnienie i jednoznaczność mocnych rozwiązań

dla równań o współczynnikach lipschitzowskich. Związek z równaniami cząstkowymi. Równania

stochastyczne liniowe.

10. Słabe rozwiązania stochastycznych równań różniczkowych. Konstrukcja słabego rozwiązania używajaca

twierdzenia Girsanowa.

Literatura:

1. I. Karatzas, S. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus. Springer-Verlag 1997.

2. D. Revuz, M. Yor, Continuous Martingales and Brownian Motion. Springer-Verlag 1999.

3. A.D. Wentzell, Wykłady z teorii procesów stochastycznych. PWN 1980

4.P. Protter, Stochastic integration and differential equations., Springer-Verlag 1995.

5. R. Latała, Wstęp do Analizy Stochastycznej, https://www.mimuw.edu.pl/~rlatala/testy/proc/was.pdf

Efekty uczenia się:

1. Zna podstawowe własności procesu Wienera i martyngałów z czasem ciągłym.

2. Zna pojęcie martyngału lokalnego i jego wahania kwadratowego. Potrafi wyznaczyć wahanie kwadratowe dla procesu Wienera. Zna twierdzenie Dooba-Meyera.

3. Zna definicję całki Itô względem procesu Wienera i semimartyngałów ciągłych, jak również podstawowe ich własności. Zna wzór Itô i potrafi go zastosować. Potrafi wyznaczyć wahanie kwadratowe całki stochastycznej.

4. Zna twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności mocnych rozwiązań równań stochastycznych o lipschitzowskich współczynnikach i potrafi zastosować je do konkretnych zagadnień. Potrafi rozwiązywać równania różniczkowe liniowe.

5. Rozumie różnicę między słabymi a mocnymi rozwiązaniami stochastycznych równań różniczkowych

Metody i kryteria oceniania:

Ocena końcowa wystawiana jest na podstawie łącznej sumy punktów uzyskanych na kolokwiach i egzaminie.

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2021/22" (zakończony)

Okres: 2021-10-01 - 2022-02-20
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć:
Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Maciej Wiśniewolski
Prowadzący grup: Maciej Wiśniewolski
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Wykład - Egzamin

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2022/23" (jeszcze nie rozpoczęty)

Okres: 2022-10-01 - 2023-01-29

Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć:
Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Maciej Wiśniewolski
Prowadzący grup: Maciej Wiśniewolski
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Wykład - Egzamin
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki.
ul. Banacha 2
02-097 Warszawa
tel: +48 22 55 44 214 https://www.mimuw.edu.pl/
kontakt deklaracja dostępności USOSweb 6.8.0.0-0cee12404 (2022-08-03)