Wstęp do analizy stochastycznej
Informacje ogólne
Kod przedmiotu: | 1000-135WAS | Kod Erasmus / ISCED: |
11.193
![]() ![]() |
Nazwa przedmiotu: | Wstęp do analizy stochastycznej | ||
Jednostka: | Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki | ||
Grupy: |
Przedmioty fakultatywne dla studiów 2 stopnia na matematyce Przedmioty fakultatywne na matematyce |
||
Punkty ECTS i inne: |
6.00 ![]() ![]() |
||
Język prowadzenia: | angielski | ||
Rodzaj przedmiotu: | fakultatywne |
||
Założenia (lista przedmiotów): | Rachunek prawdopodobieństwa II 1000-135RP2 |
||
Założenia (opisowo): | Student powinien znać podstawy rachunku prawdopodobieństwa, takie jak rozkład zmiennej losowej, zbieżności rozkładów, rozkłady wielowymiarowe, warunkowa wartość oczekiwana. |
||
Skrócony opis: |
Podstawowe własności procesu Wienera, martyngałów z czasem ciągłych, martyngałów lokalnych, semimartyngałów. Wahanie kwadratowe semimartyngałów ciągłych i twierdzenie Dooba-Meyera. Całka Itô i jej podstawowe własności. Wzór Itô. Twierdzenie Lévy’ego o reprezentacji, zamiana miary, twierdzenie Girsanowa. Mocne i słabe rozwiązania równań stochastycznych. Związki równań stochastycznych z równaniami o pochodnych cząstkowych. |
||
Pełny opis: |
1. Podstawowe własności procesu Wienera i martyngałów z czasem ciągłym. 2. Elementy ogólnej teorii procesów w zakresie niezbędnym dla potrzeb wykładu. 3. Martyngały lokalne i semimartyngały. Wahanie kwadratowe martyngałów ciągłych i martyngałów lokalnych, twierdzenie Dooba-Meyera. 4. Całka Stieltjesa i całka izometryczna Paleya-Wienera. 5. Całka stochastyczna Itô względem procesu Wienera. Uogólnienie: całka stochastyczna względem semimartyngałów ciągłych. 6. Podstawowe własności całki stochastycznej: całkowanie przez podstawienie i całkowanie przez części. 7. Wzór Itô. Wahanie kwadratowe dla całki stochastycznej. 8. Twierdzenie Lévy’ego o reprezentacji, zamiana miary, twierdzenie Girsanowa. 9. Mocne rozwiązania stochastycznych równań różniczkowych. Istnienie i jednoznaczność mocnych rozwiązań dla równań o współczynnikach lipschitzowskich. Związek z równaniami cząstkowymi. Równania stochastyczne liniowe. 10. Słabe rozwiązania stochastycznych równań różniczkowych. Konstrukcja słabego rozwiązania używajaca twierdzenia Girsanowa. |
||
Literatura: |
1. I. Karatzas, S. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus. Springer-Verlag 1997. 2. D. Revuz, M. Yor, Continuous Martingales and Brownian Motion. Springer-Verlag 1999. 3. A.D. Wentzell, Wykłady z teorii procesów stochastycznych. PWN 1980 4.P. Protter, Stochastic integration and differential equations., Springer-Verlag 1995. 5. R. Latała, Wstęp do Analizy Stochastycznej, https://www.mimuw.edu.pl/~rlatala/testy/proc/was.pdf |
||
Efekty uczenia się: |
1. Zna podstawowe własności procesu Wienera i martyngałów z czasem ciągłym. 2. Zna pojęcie martyngału lokalnego i jego wahania kwadratowego. Potrafi wyznaczyć wahanie kwadratowe dla procesu Wienera. Zna twierdzenie Dooba-Meyera. 3. Zna definicję całki Itô względem procesu Wienera i semimartyngałów ciągłych, jak również podstawowe ich własności. Zna wzór Itô i potrafi go zastosować. Potrafi wyznaczyć wahanie kwadratowe całki stochastycznej. 4. Zna twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności mocnych rozwiązań równań stochastycznych o lipschitzowskich współczynnikach i potrafi zastosować je do konkretnych zagadnień. Potrafi rozwiązywać równania różniczkowe liniowe. 5. Rozumie różnicę między słabymi a mocnymi rozwiązaniami stochastycznych równań różniczkowych |
||
Metody i kryteria oceniania: |
Ocena końcowa wystawiana jest na podstawie łącznej sumy punktów uzyskanych na kolokwiach i egzaminie. |
Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2021/22" (zakończony)
Okres: | 2021-10-01 - 2022-02-20 |
![]() |
Typ zajęć: |
Ćwiczenia, 30 godzin ![]() Wykład, 30 godzin ![]() |
|
Koordynatorzy: | Maciej Wiśniewolski | |
Prowadzący grup: | Maciej Wiśniewolski | |
Lista studentów: | (nie masz dostępu) | |
Zaliczenie: |
Przedmiot -
Egzamin
Wykład - Egzamin |
Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2022/23" (jeszcze nie rozpoczęty)
Okres: | 2022-10-01 - 2023-01-29 |
![]() |
Typ zajęć: |
Ćwiczenia, 30 godzin ![]() Wykład, 30 godzin ![]() |
|
Koordynatorzy: | Maciej Wiśniewolski | |
Prowadzący grup: | Maciej Wiśniewolski | |
Lista studentów: | (nie masz dostępu) | |
Zaliczenie: |
Przedmiot -
Egzamin
Wykład - Egzamin |
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.