Serwisy internetowe Uniwersytetu Warszawskiego Nie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Teoria kategorii w podstawach matematyki i informatyki teoretycznej

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-2M20TKJ Kod Erasmus / ISCED: 11.303 / (0612) Database and network design and administration
Nazwa przedmiotu: Teoria kategorii w podstawach matematyki i informatyki teoretycznej
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty monograficzne dla III - V roku informatyki
Przedmioty obieralne dla informatyki
Punkty ECTS i inne: 6.00
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: angielski
Rodzaj przedmiotu:

monograficzne

Skrócony opis:

Celem niniejszego wykładu jest wprowadzenie do teorii kategorii ze szczególnym uwzględnieniem zastosowań w podstawach matematyki i teoretycznej informatyki. Czysto teoretyczne tematy będą przeplatane praktycznymi, m.in.: teorią automatów, języków i obliczeń w rozmaitych kategoriach (takich jak: definiowalne zbiory, przestrzenie wektorowe, przestrzenie topologiczne, itp.).

Pełny opis:

Teoria kategorii opiera się na obserwacji, że wiele „wewnętrznych” własności matematycznych obiektów może być „zewnętrznie” opisanych w terminach morfizmów pomiędzy obiektami. Przewagą takiej perspektywy nad klasyczną jest to, że daje ona bezpośredni sposób na transfer definicji, pojęć i idei pomiędzy różnymi gałęziami matematyki i teoretycznej informatyki. Taki transfer często prowadzi do powstania nowych dziedzin wiedzy. Przykłady obejmują: bezpunktową topologię, nieprzemienną geometrię, teorię motywów Grothendiecka, automaty nominalne, monadyczną logikę drugiego rzędu i wiele innych.

Celem niniejszego wykładu jest wprowadzenie do teorii kategorii ze szczególnym uwzględnieniem zastosowań w podstawach matematyki i teoretycznej informatyki. Czysto teoretyczne tematy będą przeplatane praktycznymi, m.in.: teorią automatów, języków i obliczeń w rozmaitych kategoriach (takich jak: definiowalne zbiory, przestrzenie wektorowe, przestrzenie topologiczne, itp.).

Program wykładu:

1. Kategorie. Podstawowe pojęcia i definicje.

2. Funktory i naturalne transformacje.

3. Lemat Yonedy.

4. Sprzężenia.

5. Automaty w kategoriach. Rozpoznawalność języków.

6. Rozwłóknienia.

7. Logika w kategoriach.

8. Kategorie koherentne i zbiory definiowalne w pozytywno-egzystencjalnych teoriach pierwszego rzędu.

9. Pretoposy i eliminacja wartości urojonych.

10. Toposy klasyfikujące.

11. Obliczenia w toposach klasyfikujących i w pretoposach.

Literatura:

• Adamek, Jiri, i Vera Trnková. Automata and algebras in categories. Vol. 37. Springer Science & Business Media, 1990.

• Awodey, Steve. Category theory. Oxford university press, 2010.

• Borceux, Francis. Handbook of Categorical Algebra: Volume 1, 2, 3. Cambridge University Press, 1994.

• Hodges, Wilfrid, i Hodges Wilfrid. Model theory. Cambridge University Press, 1993.

• Jacobs, Bart. Categorical logic and type theory. Elsevier, 1999.

• Johnstone, Peter T. Sketches of an Elephant: A Topos Theory Compendium: 2 Volume Set, Oxford University Press, 2002.

Efekty uczenia się:

Wiedza:

1. Zna podstawowe pojęcia oraz wyniki z teorii kategorii.

2. Zna podstawowe pojęcia oraz wyniki z teorii automatów, języków i obliczeń w kategoriach.

3. Rozumie w jaki sposób teoria kategorii ma zastosowanie w podstawach matematyki i informatyki teoretycznej.

Umiejętności:

1. Potrafi udowodnić podstawowe twierdzenia z teorii kategorii.

2. Potrafi udowodnić podstawowe twierdzenia z teorii automatów, języków i obliczeń w kategoriach.

3. Umie badać efektywność obliczeń realizowanych w pretoposach.

4. Potrafi przenosić podstawowe definicje, pojęcia i idee pomiędzy różnymi gałęziami matematyki i informatyki teoretycznej.

Kompetencje:

1. Zna ograniczenia własnej wiedzy i rozumie potrzebę dalszego kształcenia, w tym zdobywania wiedzy pozadziedzinowej.

2. Potrafi precyzyjnie formułować pytania, służące pogłębieniu własnego zrozumienia danego tematu lub odnalezieniu brakujących elementów rozumowania

Metody i kryteria oceniania:

Pisemny egzamin jako praca domowa.

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2020/21" (zakończony)

Okres: 2021-02-22 - 2021-06-13
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Michał Przybyłek
Prowadzący grup: Michał Przybyłek
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin
Przedmiot dedykowany programowi:

4EU+KURSY

Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.