Algebra przemienna

1. Pierścienie przemienne. Ideały pierwsze, ideały maksymalne i prymarne.

Nilradykał pierścienia i jego opis jako przecięcia ideałów pierwszych,

radykał Jacobsona. Przykłady: wielomiany, szeregi, pierscienie funkcji

ciagłych.

2. Lokalizacja i pierscienie lokalne. Zachowanie sie ideałów przy lokalizacji.

3. Moduły. Ciągi dokładne, moduły wolne i projektywne. Lemat Nakayamy.

Iloczyn tensorowy i moduły płaskie.

4. Moduły i pierścienie noetherowskie. Wstępujące ciągi

ideałów i skończona generowalność. Rozkladalność elementów na

nierozkładalne. Twierdzenie Hilberta o bazie. Lokalizacja jest

noetherowska.

5. Skończone rozszerzenia i całkowite domknięcie. Równoważne

charakteryzacje całkowitości rozszerzeń, składanie rozszerzeń,

całkowite domkniecie, pierścienie normalne. Twierdzenie Noether o

normalizacji.

6. Wymiar Krulla. Wymiar Krulla pierscienia wielomianów i skończenie

generowanych k-algebr. Pierścienie Dedekinda.

7. Twierdzenie Hilberta o zerach, słabe i mocne wersje. Zbiory

algebraiczne w przestrzeni afinicznej, rozkład na składowe, topologia

Zariskiego. Spektrum pierścienia noetherowskiego, spektrum skończenie

generowanej algebry nad ciałem, Spec ZZ.

8. Pierścienie i moduły z gradacja, filtracje. Funkcja Hilberta, szereg

Poincare, ideały jednorodne. Relacja tych pojęć do warunku

noetherowskosci.

9. Twierdzenie Krulla o przecięciu, lemat Artina-Reesa, topologie

I-adyczne, uzupełnienia, liczby p-adyczne i ciało Qp jako przykłady.

10. Waluacje dyskretne i podstawowe własności pierscieni waluacji.

Normalne lokalne dziedziny wymiaru 1 są pierscieniami waluacji.

Normalna noetherowska dziedzina jako przecięcie pierscieni waluacji.

11. Ideały pierwsze stowarzyszone z modułem. Rozklad prymarny modułów i

ideałów w pierscieniach noetherowskich.

Uwaga: wykładowca decyduje jak wnikliwie przedstawiać tematy 8–11.

Student zna i praktycznie opanował aparat pojęciowy współczesnej algebry przemiennej: lokalizację, spektrum pierścienia, iloczyn tensorowy.

Student zna i umie stosować główne wyniki teorii algebr skończenie generowanych: twierdzenie o normalizacji i o zerach, pojęcie wymiaru algebry.

Student zna i sprawnie operuje na klasach pierścieni takich jak DVR, dziedziny Dedekinda. Student umie zastosować wyniki z przedmiotu m.in. do zadań z teorii liczb.