Algebra przemienna
Informacje ogólne
Kod przedmiotu: | 1000-135ALP |
Kod Erasmus / ISCED: |
11.1
|
Nazwa przedmiotu: | Algebra przemienna |
Jednostka: | Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki |
Grupy: |
Przedmioty fakultatywne dla studiów 2 stopnia na matematyce Przedmioty fakultatywne na matematyce Przedmioty obieralne na studiach drugiego stopnia na kierunku bioinformatyka |
Punkty ECTS i inne: |
6.00
|
Język prowadzenia: | angielski |
Rodzaj przedmiotu: | fakultatywne |
Założenia (lista przedmiotów): | Algebra I (potok 1) 1000-113bAG1a |
Założenia (opisowo): | Student zna i rozumie podstawowe pojęcia topologii, w szczególności jest obeznany z przykładami niemetrycznych przestrzeni topologicznych. Student zna i rozumie podstawowe pojęcia algebry (pierścień, dziedzina, ciało, homomorfizm, dziedzina ideałów głównych) i umie sprawnie operować tymi pojęciami na podstawowych przykładach, ZZ, K[x]. |
Skrócony opis: |
Przedmiot stanowi wprowadzenie do algebry przemiennej i jest wymagany do rejestracji na przedmiot geometria algebraiczna. Na wykładzie zostaną wprowadzone pojęcia związane z pierścieniami przemiennymi i modułami nad tymi pierścieniami, i zostaną dowiedzione podstawowe twierdzenia dotyczące tych klas obiektów algebraicznych; ważną klasą rozważanych pierścieni będą pierścienie noetherowskie. |
Pełny opis: |
1. Pierścienie przemienne. Ideały pierwsze, ideały maksymalne i prymarne. Nilradykał pierścienia i jego opis jako przecięcia ideałów pierwszych, radykał Jacobsona. Przykłady: wielomiany, szeregi, pierscienie funkcji ciagłych. 2. Lokalizacja i pierscienie lokalne. Zachowanie sie ideałów przy lokalizacji. 3. Moduły. Ciągi dokładne, moduły wolne i projektywne. Lemat Nakayamy. Iloczyn tensorowy i moduły płaskie. 4. Moduły i pierścienie noetherowskie. Wstępujące ciągi ideałów i skończona generowalność. Rozkladalność elementów na nierozkładalne. Twierdzenie Hilberta o bazie. Lokalizacja jest noetherowska. 5. Skończone rozszerzenia i całkowite domknięcie. Równoważne charakteryzacje całkowitości rozszerzeń, składanie rozszerzeń, całkowite domkniecie, pierścienie normalne. Twierdzenie Noether o normalizacji. 6. Wymiar Krulla. Wymiar Krulla pierscienia wielomianów i skończenie generowanych k-algebr. Pierścienie Dedekinda. 7. Twierdzenie Hilberta o zerach, słabe i mocne wersje. Zbiory algebraiczne w przestrzeni afinicznej, rozkład na składowe, topologia Zariskiego. Spektrum pierścienia noetherowskiego, spektrum skończenie generowanej algebry nad ciałem, Spec ZZ. 8. Pierścienie i moduły z gradacja, filtracje. Funkcja Hilberta, szereg Poincare, ideały jednorodne. Relacja tych pojęć do warunku noetherowskosci. 9. Twierdzenie Krulla o przecięciu, lemat Artina-Reesa, topologie I-adyczne, uzupełnienia, liczby p-adyczne i ciało Qp jako przykłady. 10. Waluacje dyskretne i podstawowe własności pierscieni waluacji. Normalne lokalne dziedziny wymiaru 1 są pierscieniami waluacji. Normalna noetherowska dziedzina jako przecięcie pierscieni waluacji. 11. Ideały pierwsze stowarzyszone z modułem. Rozklad prymarny modułów i ideałów w pierscieniach noetherowskich. Uwaga: wykładowca decyduje jak wnikliwie przedstawiać tematy 8–11. |
Literatura: |
1. M.F. Atiyah, I.G. MacDonald. Wstep do algebry przemiennej. 2. J. Browkin. Teoria ciał. 3. S. Balcerzyk, T. Józefiak. Algebra Przemienna. (Istnieje przekład angielski). 4. D. Eisenbud. Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Springer 1995. 5. I. Kaplansky. Commutative Algebra. 6. S. Lang. Algebra, (oba wydania). 7. H. Matsumura. Commutative ring theory 8. M. Reid. Undergraduate commutative algebra. |
Efekty uczenia się: |
Student zna i praktycznie opanował aparat pojęciowy współczesnej algebry przemiennej: lokalizację, spektrum pierścienia, iloczyn tensorowy. Student zna i umie stosować główne wyniki teorii algebr skończenie generowanych: twierdzenie o normalizacji i o zerach, pojęcie wymiaru algebry. Student zna i sprawnie operuje na klasach pierścieni takich jak DVR, dziedziny Dedekinda. Student umie zastosować wyniki z przedmiotu m.in. do zadań z teorii liczb. |
Metody i kryteria oceniania: |
Egzamin na ocenę. |
Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2022/23" (zakończony)
Okres: | 2022-10-01 - 2023-01-29 |
![]() |
Typ zajęć: |
Ćwiczenia, 30 godzin
Wykład, 30 godzin
|
|
Koordynatorzy: | Joachim Jelisiejew | |
Prowadzący grup: | Joachim Jelisiejew | |
Strona przedmiotu: | https://www.mimuw.edu.pl/~jjelisiejew/uw/202223-commalg/index.html | |
Lista studentów: | (nie masz dostępu) | |
Zaliczenie: | Egzamin | |
Kierunek podstawowy MISMaP: | matematyka |
|
Literatura: |
1. M.F. Atiyah, I.G. MacDonald. Wstep do algebry przemiennej. (main) 2. M. Reid. Undergraduate commutative algebra. (easier but not as complete as A-M) 3. D. Eisenbud. Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry Heavy yet contains everything and in many places, comprehensive discussions/applications. 4. I. Kaplansky. Commutative Algebra. Classical algebra, no geometry. 5. Lectures notes will be available. |
|
Uwagi: |
Formalna ocena składa się sumy punktów z zadeklarowanych (niekoniecznie zaprezentowanych) zadań domowych (30%) oraz egzaminu końcowego (70%). Egzamin końcowy odbędzie się w formie ustnej, będę pytać i o wykład i o rozwiązania zadań domowych. W terminie zerowym obowiązują te same kryteria, zadania domowe będą ewentualnie przeskalowane. |
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.