Algebra przemienna

fakultatywne

Algebra I (potok 1) 1000-113bAG1a
Topologia I (potok 1) 1000-113bTP1a

Student zna i rozumie podstawowe pojęcia topologii, w szczególności jest obeznany z przykładami niemetrycznych przestrzeni topologicznych.

Student zna i rozumie podstawowe pojęcia algebry (pierścień, dziedzina, ciało, homomorfizm, dziedzina ideałów głównych) i umie sprawnie operować tymi pojęciami na podstawowych przykładach, ZZ, K[x].

Przedmiot stanowi wprowadzenie do algebry przemiennej i jest wymagany do

rejestracji na przedmiot geometria algebraiczna. Na wykładzie zostaną

wprowadzone pojęcia związane z pierścieniami przemiennymi i modułami nad

tymi pierścieniami, i zostaną dowiedzione podstawowe twierdzenia dotyczące

tych klas obiektów algebraicznych; ważną klasą rozważanych pierścieni będą

pierścienie noetherowskie.

1. Pierścienie przemienne. Ideały pierwsze, ideały maksymalne i prymarne.

Nilradykał pierścienia i jego opis jako przecięcia ideałów pierwszych,

radykał Jacobsona. Przykłady: wielomiany, szeregi, pierscienie funkcji

ciagłych.

2. Lokalizacja i pierscienie lokalne. Zachowanie sie ideałów przy lokalizacji.

3. Moduły. Ciągi dokładne, moduły wolne i projektywne. Lemat Nakayamy.

Iloczyn tensorowy i moduły płaskie.

4. Moduły i pierścienie noetherowskie. Wstępujące ciągi

ideałów i skończona generowalność. Rozkladalność elementów na

nierozkładalne. Twierdzenie Hilberta o bazie. Lokalizacja jest

noetherowska.

5. Skończone rozszerzenia i całkowite domknięcie. Równoważne

charakteryzacje całkowitości rozszerzeń, składanie rozszerzeń,

całkowite domkniecie, pierścienie normalne. Twierdzenie Noether o

normalizacji.

6. Wymiar Krulla. Wymiar Krulla pierscienia wielomianów i skończenie

generowanych k-algebr. Pierścienie Dedekinda.

7. Twierdzenie Hilberta o zerach, słabe i mocne wersje. Zbiory

algebraiczne w przestrzeni afinicznej, rozkład na składowe, topologia

Zariskiego. Spektrum pierścienia noetherowskiego, spektrum skończenie

generowanej algebry nad ciałem, Spec ZZ.

8. Pierścienie i moduły z gradacja, filtracje. Funkcja Hilberta, szereg

Poincare, ideały jednorodne. Relacja tych pojęć do warunku

noetherowskosci.

9. Twierdzenie Krulla o przecięciu, lemat Artina-Reesa, topologie

I-adyczne, uzupełnienia, liczby p-adyczne i ciało Qp jako przykłady.

10. Waluacje dyskretne i podstawowe własności pierscieni waluacji.

Normalne lokalne dziedziny wymiaru 1 są pierscieniami waluacji.

Normalna noetherowska dziedzina jako przecięcie pierscieni waluacji.

11. Ideały pierwsze stowarzyszone z modułem. Rozklad prymarny modułów i

ideałów w pierscieniach noetherowskich.

Uwaga: wykładowca decyduje jak wnikliwie przedstawiać tematy 8–11.

1. M.F. Atiyah, I.G. MacDonald. Wstep do algebry przemiennej.

2. J. Browkin. Teoria ciał.

3. S. Balcerzyk, T. Józefiak. Algebra Przemienna. (Istnieje przekład angielski).

4. D. Eisenbud. Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Springer 1995.

5. I. Kaplansky. Commutative Algebra.

6. S. Lang. Algebra, (oba wydania).

7. H. Matsumura. Commutative ring theory

8. M. Reid. Undergraduate commutative algebra.

Student zna i praktycznie opanował aparat pojęciowy współczesnej algebry przemiennej: lokalizację, spektrum pierścienia, iloczyn tensorowy.

Student zna i umie stosować główne wyniki teorii algebr skończenie generowanych: twierdzenie o normalizacji i o zerach, pojęcie wymiaru algebry.

Student zna i sprawnie operuje na klasach pierścieni takich jak DVR, dziedziny Dedekinda. Student umie zastosować wyniki z przedmiotu m.in. do zadań z teorii liczb.

Egzamin na ocenę.