Serwisy internetowe Uniwersytetu Warszawskiego Nie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Zaawansowany kurs równań różniczkowych cząstkowych

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-1M18ZRR Kod Erasmus / ISCED: 11.1 / (0541) Matematyka
Nazwa przedmiotu: Zaawansowany kurs równań różniczkowych cząstkowych
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty monograficzne dla IV - V roku matematyki
Punkty ECTS i inne: 6.00
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: angielski
Rodzaj przedmiotu:

monograficzne

Skrócony opis:

Przegląd bardziej zaawansowanych zagadnień teorii równań różniczkowych cząstkowych: gładkość rozwiązań równań eliptycznych, metoda ilorazów różnicowych, teoria Fredholma, elementy teorii Schaudera, teorii półgrup, metody wariacyjne.

Pełny opis:

Gładkość słabych rozwiązań równań eliptycznych. Rozmaite zastosowania metody różnic skończonych. (2 wykłady)

Nierówność Gardinga. Istnienie rozwiązań równań eliptycznych z wyrazami niższego rzędu (metodą zwartości). (1 wykład)

Teoria Fredholma w przestrzeniach Hilberta. Operatory zwarte i alternatywa Fredholma. Wartości własne i wektory własne i elementy teorii spektralnej. Zastosowania do operatorów eliptycznych ze szczególnym uwzględnieniem zagadnienia własnego dla operatora Laplace'a. (3 wykłady)

Metody wariacyjne. Półciągłość z dołu funkcjonałów na przestrzeniach Banacha. Słabe rozwiązania (niekoniecznie liniowych) równań eliptycznych jako minima funkcjonałów. Przykładowe zastosowania: p-laplasjan. Twierdzenie o przełęczy górskiej. Przykłady niejednoznaczności rozwiązań nieliniowych równań eliptycznych. (4 wykłady)

Półgrupy mocno ciągłe, twierdzenie Hille'a-Yosidy. Zastosowania do równań hiperbolicznych i parabolicznych. Teoria potoków gradientowych. (3 wykłady)

Elementy teorii oszacowań schauderowskich. Twierdzenia o punkcie stałym: twierdzenie Schaudera, twierdzenie Leraya-Schaudera. Metoda operatorów monotonicznych. Zastosowania. (2 wykłady)

Literatura:

L.C.Evans, Równania różniczkowe cząstkowe. PWN, Warszawa 2002

D.Gilbarg, N.S.Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order. Springer-Verlag, Berlin 1983

J.L. Lions, Quelques methodes de resolution des problemes aux limites non lineaires. Edit. Dunod, Paryż 1969

Efekty uczenia się:

Student:

- zna twierdzenia o punkcie stałym (twierdzenie Banacha, Schaudera, Leraya-Schaudera) i potrafi je stosować w dowodach istnienia rozwiązań równań różniczkowych

- zna alternatywą Fredholma

- zna definicję półgrupy i generatora infinitezymalnego

- potrafi wskazać zastosowania tw. Hille-Yoshidy w równaniach różniczkowych

- posługuje się nierównościami Sobolewa i Holdera w dowodzeniu oszacowań energetycznych

- potrafi sformułować słabą postać równania różniczkowego

- potrafi posługiwać się metodą Galerkina

- umie stosować metodę zwartości

- potrafi wyprowadzić równania Eulera-Lagrange'a dla zadanego funkcjonału i zbadać istnienie słabych rozwiązań

- zna warunki istnienia funkcji minimizujących funkcjonał

- umie podać charakteryzację wariacyjną dla minimum funkcjonału

- zna metodę monotoniczności

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2020/21" (w trakcie)

Okres: 2021-02-22 - 2021-06-13
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład monograficzny, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Tomasz Piasecki
Prowadzący grup: Tomasz Piasecki
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.