Uniwersytet Warszawski - Centralny System Uwierzytelniania
Strona główna

Algebry operatorów dające się widzieć II

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-1M20AOW2
Kod Erasmus / ISCED: 11.1 Kod klasyfikacyjny przedmiotu składa się z trzech do pięciu cyfr, przy czym trzy pierwsze oznaczają klasyfikację dziedziny wg. Listy kodów dziedzin obowiązującej w programie Socrates/Erasmus, czwarta (dotąd na ogół 0) – ewentualne uszczegółowienie informacji o dyscyplinie, piąta – stopień zaawansowania przedmiotu ustalony na podstawie roku studiów, dla którego przedmiot jest przeznaczony. / (0541) Matematyka Kod ISCED - Międzynarodowa Standardowa Klasyfikacja Kształcenia (International Standard Classification of Education) została opracowana przez UNESCO.
Nazwa przedmiotu: Algebry operatorów dające się widzieć II
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty monograficzne dla matematyki 2 stopnia
Przedmioty obieralne na studiach drugiego stopnia na kierunku bioinformatyka
Punkty ECTS i inne: (brak) Podstawowe informacje o zasadach przyporządkowania punktów ECTS:
  • roczny wymiar godzinowy nakładu pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się dla danego etapu studiów wynosi 1500-1800 h, co odpowiada 60 ECTS;
  • tygodniowy wymiar godzinowy nakładu pracy studenta wynosi 45 h;
  • 1 punkt ECTS odpowiada 25-30 godzinom pracy studenta potrzebnej do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się;
  • tygodniowy nakład pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się pozwala uzyskać 1,5 ECTS;
  • nakład pracy potrzebny do zaliczenia przedmiotu, któremu przypisano 3 ECTS, stanowi 10% semestralnego obciążenia studenta.

zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: (brak danych)
Rodzaj przedmiotu:

monograficzne

Skrócony opis:

Algebry grafowe: algebry ścieżkowe, algebry ścieżkowe Leavitta, grafowe C*-algebry, od pushoutów

grafów do pullbacków grafowych C*-algebr.

Pełny opis:

Grafowe C*-algebry okazały się niezwykle skuteczne w badaniu K-teorii algebr operatorowych. Obecnie

są przedmiotem intensywnych badań w dziedzinie nieprzemiennej topologii, ciesząc się dużą ilością

nowych wyników. Celem tego wykładu jest przedstawienie podstaw grafów zorientowanych (kołczanów)

tak aby nauczyć od początku i w systematyczny sposób teorii grafowych C*-algebr.

Wykład rozpoczyna się od wprowadzenia pojęcia algebry ścieżkowej grafu zorientowanego (kołczanu),

która jest zdefiniowana jako liniowa powłoka wszystkich skończonych ścieżek grafu z mnożeniem danym

przez składanie ścieżek. Zatem liczba skończonych ścieżek w grafie jest wymiarem jego algebry

ścieżkowej. Następnie, kluczowym krokiem jest wprowadzenie relacji Cuntza-Kriegera w algebrze

ścieżkowej rozszerzenego grafu - definiują one algebrę ścieżkową Leavitta tego grafu jako iloraz

algebry ścieżkowej rozszerzenia tego grafu przez ideał generowany przez relacje Cuntza-Kriegera.

Biorąc ciało liczb zespolonych za ciało podstawowe algebry ścieżkowej Leavitta grafu i definiując

inwolucję przy pomocy rozszerzenia tego grafu, otrzymujemy zespoloną *-algebrę. Teraz możemy

zdefiniować grafowe C*-algebry jako uniwersalne C*-algebry obwiednie algebr ścieżkowych Leavitta.

Kluczowe wyniki, które będą tu przedstawione, dotyczą reprezentacji na przestrzeni Hilberta i

struktury ideałów grafowych C*-algebr.

Wykład kończy się zastosowaniami w topologii nieprzemiennej. Po pierwsze, udowadniamy że, poprzez

wyposażenie grafów w morfizmy Leavitta, przypisanie grafowi grafowej C*-algebry staje się

kontrawariantnym funktorem do kategorii C*-algebr i *-homomorfizmów. Następnie pokazujemy kiedy ten

kontrawariantny funktor przekształca pushouty grafów w pullbacki grafowych C*-algebr. Wszystko to

jest ilustrowane mnóstwem naturalnych przykładów zakorzenionych w klasycznej topologii.

Literatura:

1. Graph Algebras, Piotr M. Hajac, Mariusz Tobolski, arxiv 1912.05136.

2. Leavitt Path Algebras, Gene Abrams, Pere Ara, Mercedes Siles Molina.

3. Algebras and Representation Theory, Karin Erdmann, Thorsten Holm.

4. C*-algebras and Operator Theory, Gerard J. Murphy.

Efekty uczenia się:

Zdobycie praktycznej wiedzy na temat grafowych C*-algebr pozwalającej na rozpoczęcie badań

naukowych w tej dziedzinie matematyki. W zależności od poziomu zaangażowania, wykład ten może

prowadzić do pracy magisterskiej lub doktorskiej.

Metody i kryteria oceniania:

systematyczne uczestniczenie w zajęciach lub egzamin ustny

Przedmiot nie jest oferowany w żadnym z aktualnych cykli dydaktycznych.
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.
ul. Banacha 2
02-097 Warszawa
tel: +48 22 55 44 214 https://www.mimuw.edu.pl/
kontakt deklaracja dostępności USOSweb 6.8.1.0-65ff8df66 (2023-01-24)