Serwisy internetowe Uniwersytetu Warszawskiego Nie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Geometryczny kobordyzm i grupy formalne

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-1M21GKG Kod Erasmus / ISCED: 11.1 / (0541) Matematyka
Nazwa przedmiotu: Geometryczny kobordyzm i grupy formalne
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty 4EU+ (z oferty jednostek dydaktycznych)
Przedmioty monograficzne dla matematyki 2 stopnia
Strona przedmiotu: https://www.mimuw.edu.pl/~sjack/dydaktyka/Cobordism/
Punkty ECTS i inne: 6.00
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: angielski
Rodzaj przedmiotu:

monograficzne

Założenia (opisowo):

Metody topologii algebraicznej w zakresie przedmiotów Topologia II lub Topologia Algebraiczna. Pierścienie i moduły. Rozmaitości różniczkowe i wiązki wektorowe

Tryb prowadzenia:

mieszany: w sali i zdalnie

Skrócony opis:

Przedmiot jest poświęcony zaskakującej relacji między dwoma, zdawałoby się skrajnie odległymi problemami matematycznymi – klasyfikacji gładkich, zwartych rozmaitości oraz teorii grup formalnych (czyli szeregów formalnych spełniających pewne warunki), wprowadzonej w kontekście analitycznym, a następnie rozważanej w kontekście algebry i geometrii algebraicznej. Ten związek, zauważony przez D. Quillena w końcu lat sześćdziesiątych XX w. jest podstawą konstrukcji teorii kohomologii odgrywających ogromną rolę we współczesnej teorii homotopii. D. Ravenel napisał: „Quillen’s work on formal group laws and complex cobordism opened a new era in algebraic topology.”

Pełny opis:

1.Problem klasyfikacji rozmaitości. Relacja bordyzmu rozmaitości zwartych. Pierścień klas bordyzmu.

2.ABC topologii różniczkowej - transwersalność. Pierścień (ko-)bordyzmu.

3.Uogólnione teorie (ko-)homologii.

4.Rozszerzenie konstrukcji pierścienia (ko-)borydzmu do multyplikatywnej teorii (ko-)homologii wyposażonej w „Umkehr Homomorphismus” - podejście geometryczne. Uniwersalność teorii kobordyzmu.

5.Związki z teorią homotopii - konstrukcja Pontriagina-Thoma.

6.Orientowalność wiązek w uogólnionych teoriach kohomologii. Zasada rozszczepiania.

7.Klasy charakterystyczne Stiefela-Whitneya i Cherna w uogólnionych teoriach kohmologii. Grupa formalna teorii kohomologii.

8.ABC teorii grup formalnych z algebraicznego punktu widzenia. Logarytm grupy formalnej. Uniwersalna grupa formalna.

9.Operacje kohomologiczne w teorii kobordyzmu.

10.Identyfikacja pierścienia (ko-)bordyzmu jako pierścienia uniwersalnej grupy formalnej.

11.Generatory pierścienia (ko-)bordyzmu.

Literatura:

J.F. Adams "Quillen's work on formal groups and complex cobordism"

A. Bojanowska, S. Jackowski "Geometric bordism and cobordism"

Th. Broecker, T. tom Dieck "Kobordismentheorie" Lecture Notes in Math. 178, Springer 1970

P.E. Conner, E.E. Floyd "Differentiable Periodic Maps" Springer 1964

D.Quillen "Elementary proofs of some results of cobordism theory using Steenrod operations" Advances in Mathematics 7, str.29-56, (1971)

H. Miller "Notes on cobordism". Lecture Notes MIT

D. Ravenel "Quillen's work on formal groups and complex cobordism" 2012

R. Stong "Notes on cobordism theory" Princeton UP 1968

Literatura uzupełniająca

G.E. Bredon "Topology and Geometry"

Th. Broecker, K. Jaenich "Introduction to differential topology"

M. Hirsch "Differential topology"

M.J. Hopkins "Global methods in homotopy theory" In:e Homotopy Theory London Math. Soc. Lect. Note Series 117 (1987), 73-96

M.J. Hopkins "Algebraic Topology and Modular Forms" ICM 2002

J. Milnor"Topologia z różniczkowego punktu widzenia"

J. Milnor "Lectures on h-cobordism"

Efekty uczenia się:

1. Zrozumienie problemu klasyfikacji rozmaitości ze względu na różne relacje, szczególnie bordyzmu.

2. Oswojenie z różnymi teriami homologii i kohomologii, w szczególności teorią bordyzmu i kobordyzmu oraz świadomość bogactwa struktur algebraicznych w różnych teoriach.

3. Obliczanie klas charakterystycznych wiązek wektorowych.

4. Zrozumienie pojęcia grupy formalnej i jego związków z klasycznymi lokalnymi grupami Lie.

5. Wskazanie generatorów pierścienia bordyzmu.

6. Precyzyjne i jasne formułowanie w mowie piśmie rozumowań matematycznych.

Metody i kryteria oceniania:

Egzamin ustny oparty na pisemnym eseju na zadany temat.

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2021/22" (w trakcie)

Okres: 2021-10-01 - 2022-02-20
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład monograficzny, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Stefan Jackowski
Prowadzący grup: Stefan Jackowski
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin
Przedmiot dedykowany programowi:

4EU+KURSY

Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.