Ideały miary i kategorii

monograficzne

Teoria mnogości 1000-135TMN
Topologia I (potok 1) 1000-113bTP1a

Wymagane jest wcześniejsze zaliczenie przedmiotu fakultatywnego Teoria Mnogości i Topologia I. Do zrozumienia wykładu potrzebna będzie też znajomość podstawowych zagadnień i elementów teorii miary omawianych na kursie Analizy Matematycznej II.

Tematem wykładu będą teoriomnogościowe własności ideałów zbiorów miary Lebesgue’a zero i zbiorów pierwszej kategorii Baire’a oraz związanych z tymi ideałami innych klas małych podzbiorów prostej rzeczywistej.

1. Prosta rzeczywista i pokrewne przestrzenie polskie, przestrzeń Cantora, przestrzeń Baire’a. Przypomnienie elementów deskryptywnej teorii mnogości: zbiory borelowskie i analityczne. Zbiory doskonałe, własność zbioru doskonałego dla klas podzbiorów przestrzeni polskich.

2. Ideały miary i kategorii jako ideały o bazie borelowskiej i własności c.c.c.. Algebry ilorazowe zbiorów borelowskich modulo ideał, tw. Sikorskiego. Zbiory o własności Baire’a jako “kategoryjny” odpowiednik zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a. Twierdzenie Kuratowskiego-Ulama jako odpowiednik twierdzenia Fubiniego. Ortogonalność ideałów miary i kategorii. Dualność Erdősa-Sierpińskiego (przy założeniu CH) ideałów miary i kategorii, nieistnienie addytywnej funkcji Erdősa-Sierpińskiego.

3. Twierdzenia i konstrukcje dotyczące zbiorów niemierzalnych w sensie Lebesgue’a lub bez własności Baire’a, np. Twierdzenie Czterech Polaków. Zbiory niemierzalne (Lebesgue’owsko/Baire’owsko) mające postać sumy algebraicznej zbiorów mierzalnych lub z ideału.

4. Współczynniki kardynalne ideałów miary i kategorii i nierówności między nimi (m.in. tw. Rothbergera), diagram Cichonia.

5. Zbiory uniwersalnie miary zero (UMZ), zawsze pierwszej kategorii (AFC) i uniwersalnie pierwszej kategorii (UFC) i ich własności Istnienie nieprzeliczalnych zbiorów o powyższych własnościach.

6. Zbiory silnie miary zero (SN/SMZ), definicja metryczna i charakteryzacja Galvina-Mycielskiego-Solovaya. Kategoryjne odpowiedniki: zbiory silnie pierwszej kategorii (SM/SFC) i bardzo pierwszej kategorii (VM/VFC); inkluzje pomiędzy tymi klasami, a odpowiednimi klasami zbiorów uniwersalnie miary zero i uniwersalnie pierwszej kategorii. Zbiory o własności Rothbergera i inne klasy małych zbiorów. Zbiór Łuzina i zbiór Sierpińskiego, ich przynależność do odpowiednich klas. Informacje o Hipotezie Borela i Dualnej Hipotezie Borela.

Prace źródłowe oraz wybrane tematy z:

J. C. Oxtoby - Measure and Category (2nd Edition), Springer Verlag.

Alexander S. Kechris - Classical Descriptive Set Theory, Springer Verlag.

T. Bartoszyński, H. Judah - Set Theory. On the structure of the real line. A.K. Peters Ltd.

Przedmiot zakończony egzaminem ustnym. Wymagana będzie obecność na ćwiczeniach, a aktywność na nich może być wzięta pod uwagę przy wystawieniu ostatecznej oceny.